Lösung von Aufgabe 12.1P (SoSe 13): Unterschied zwischen den Versionen
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| − | | Sa'∘Sb' mit D(M,180) | + | | Sa'∘Sb' mit D(M,180), |
| − | | Eigenschaft d. Punktspiegelung; Voraussetzung | + | a' ⊥ b' ∧ a' || c |
| + | | Eigenschaft d. Punktspiegelung; | ||
| + | Voraussetzung | ||
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| − | | | + | | Sc∘Sd ≔ D(N,180), |
| − | | Eigenschaft d. Punktspiegelung; Voraussetzung | + | c ⊥ d ∧ c || a |
| + | | Eigenschaft d. Punktspiegelung; | ||
| + | Voraussetzung | ||
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| 3) | | 3) | ||
| − | | wir wählen b' = | + | | wir wählen b' = c |
| − | mit |∠a',b'| = |∠c | + | mit |∠a',b'| = |∠c,d| = 90 |
| − | | (1); (2); Identität; Eigenschaft d. Punktspiegelung; involutorische Abbildung | + | | (1); (2); Identität; Eigenschaft d. Punktspiegelung; |
| + | Def. involutorische Abbildung | ||
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| 4) | | 4) | ||
| − | | Sa' | + | | Sa'∘Sd |
| − | | (3); Eigenschaft | + | mit a' || d |
| + | | (3); | ||
| + | Eigenschaft d. Translation | ||
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)<br /> | |}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)<br /> | ||
Oh Mann, die Tabelle spinnt mal wieder. :(--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST) | Oh Mann, die Tabelle spinnt mal wieder. :(--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST) | ||
| + | *Wie lässt sich die Tabelle automatisch an den Inhalt anpassen? Weiß jemand Rat?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 15:54, 13. Jul. 2013 (CEST)<br /> | ||
| − | + | Der Beweis ist so nicht korrekt. Schritt 2 entspricht doch Schritt 1, oder? Ich erkenne auch nicht, dass b auf d liegt. Und allgemein ist die Verkettung von Geradenspiegelungen nicht kommutativ (die Reihenfolge der Spiegelungen darf nicht vertauscht werden). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:13, 15. Jul. 2013 (CEST)<br /> | |
| − | + | * Ok, das die Verkettung von GS nicht kommutativ ist, war mir nicht klar. Danke<br /> | |
| + | * In Schritt 1) wollte ich andeuten, dass die PS gedreht wird. In Schritt 2) bleibt die PS unverändert. In Schritt 3) deute ich an, dass sich die GS b' und c überlappen und dadurch in ihrer Wirkung aufheben (involutorische Abb.) Schritt 4) ist das Resultat: die verbleibende Verschiebung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:00, 15. Jul. 2013 (CEST)<br /> | ||
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| + | Also in der eingefügten Applikation überlappen sich aber keine Geraden nachdem ich einen 1. Schritt durchgeführt habe. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:39, 16. Jul. 2013 (CEST) | ||
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* Durch eine Verschiebung kann man die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzen. | * Durch eine Verschiebung kann man die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzen. | ||
Begründung: Gegeben Sa o Sb--> Sa(P)= P` und Sb(P`)= P`` | Begründung: Gegeben Sa o Sb--> Sa(P)= P` und Sb(P`)= P`` | ||
| − | Bewegt man nun die Spiegelgerade a so bewegen sich P`und P``und man erkennt dass P=P`. Bewegt man die Spiegelgerade b--> P`bewegt sich p``NICHT. | + | Bewegt man nun die Spiegelgerade a so bewegen sich P`und P``und man erkennt dass P=P`. Bewegt man die Spiegelgerade b--> P`bewegt sich p``NICHT.<br /> |
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| + | ==korrekter Beweis== | ||
| + | Vielen Dank für die anschauliche Applikation. Hier ein neuer Versuch.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:25, 17. Jul. 2013 (CEST)<br /> | ||
| + | <br /> | ||
| + | 1) Sa∘Sb = Sa'∘Sb' mit a'⊥b' ∧ a' ∩ d = {N}<br /> | ||
| + | mit gleichbleibendem Drehpunkt<br /> | ||
| + | Begründung: Eigenschaft der Drehung<br /> | ||
| + | <br /> | ||
| + | 2) Sc∘Sd = Sc'∘Sd' mit c'⊥d' ∧ c'∩b' = {M}<br /> | ||
| + | mit gleichbleibendem Drehpunkt<br /> | ||
| + | Begründung: Eigenschaft der Drehung<br /> | ||
| + | <br /> | ||
| + | 3) c' = a'<br /> | ||
| + | Begründung: (1); (2); involutorische Abbildung<br /> | ||
| + | <br /> | ||
| + | 4) Sa∘Sb∘Sc∘Sd = Sb'∘(Sa'∘Sc')= Identität ∘Sd' = Sb'∘Sd'<br /> | ||
| + | mit b' || d'<br /> | ||
| + | Begründung: (1); (2); (3)<br />--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:25, 17. Jul. 2013 (CEST) | ||
| + | <br /> | ||
| + | <span style="color: green">*stimmt so. Super NOlessonlearned. Ich würde die Begründung involutorische Abbildung allerdings bei Schritt 4 schreiben, nicht bei 3. Denn bei 3 geht es ja gar nicht um Abbildungen, sondern nur um Geraden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:52, 18. Jul. 2013 (CEST)</span> | ||
| + | <br /> | ||
MEINE FRAGE IST: Von wo wusste Nolessonlearned, dass man für die Verkettung 2 Punktspiegelungen die Verkettung 4 Geradenspiegelungen benötigt?--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 13:02, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 13.Juli, 13:00<br /> | MEINE FRAGE IST: Von wo wusste Nolessonlearned, dass man für die Verkettung 2 Punktspiegelungen die Verkettung 4 Geradenspiegelungen benötigt?--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 13:02, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 13.Juli, 13:00<br /> | ||
*Hallo Blumenkind. Sowohl bei der Punktspiegelung als auch bei der Verschiebung handelt es sich jeweils um eine Verkettung von jeweils 2 Geradenspiegelungen. In der Voraussetzung habe ich 4 verkettete GS verwendet, da es sich in der Aufgabenstellung um eine Verkettung von 2 Punktspiegelungen handelt. 2 x 2 = 4. Schau dir mal deren Definitionen an, dann kommst du dahinter. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:36, 13. Jul. 2013 (CEST)<br /> | *Hallo Blumenkind. Sowohl bei der Punktspiegelung als auch bei der Verschiebung handelt es sich jeweils um eine Verkettung von jeweils 2 Geradenspiegelungen. In der Voraussetzung habe ich 4 verkettete GS verwendet, da es sich in der Aufgabenstellung um eine Verkettung von 2 Punktspiegelungen handelt. 2 x 2 = 4. Schau dir mal deren Definitionen an, dann kommst du dahinter. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:36, 13. Jul. 2013 (CEST)<br /> | ||
** Vieeeeelleeen Dank Nolessonlearned;-) Durch die vielen SPIEGELUNGEN komme ich durcheinander;-))--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 14:45, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 14:44, 13.Juli | ** Vieeeeelleeen Dank Nolessonlearned;-) Durch die vielen SPIEGELUNGEN komme ich durcheinander;-))--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 14:45, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 14:44, 13.Juli | ||
Aktuelle Version vom 18. Juli 2013, 20:52 Uhr
Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!
--Tutorin Anne 09:13, 15. Jul. 2013 (CEST)
Voraussetzung
Sa∘Sb∘Sc∘Sd
mit Sa∘Sb ≔ D(M,180), a ∩ b = {M}, a ⊥ b
mit Sc∘Sd ≔ D(N,180), c ∩ d = {N}, c ⊥ d --Nolessonlearned 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)
Behauptung:
Sa'∘Sc' mit a' || c' --Nolessonlearned 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)
| Beweisschritt | Begründung | |
|---|---|---|
| 1) | Sa'∘Sb' mit D(M,180),
a' ⊥ b' ∧ a' || c |
Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Voraussetzung |
| 2) | Sc∘Sd ≔ D(N,180),
c ⊥ d ∧ c || a |
Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Voraussetzung |
| 3) | wir wählen b' = c
mit |∠a',b'| = |∠c,d| = 90 |
(1); (2); Identität; Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Def. involutorische Abbildung |
| 4) | Sa'∘Sd
mit a' || d |
(3);
Eigenschaft d. Translation |
Oh Mann, die Tabelle spinnt mal wieder. :(--Nolessonlearned 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)
- Wie lässt sich die Tabelle automatisch an den Inhalt anpassen? Weiß jemand Rat?--Nolessonlearned 15:54, 13. Jul. 2013 (CEST)
Der Beweis ist so nicht korrekt. Schritt 2 entspricht doch Schritt 1, oder? Ich erkenne auch nicht, dass b auf d liegt. Und allgemein ist die Verkettung von Geradenspiegelungen nicht kommutativ (die Reihenfolge der Spiegelungen darf nicht vertauscht werden). --Tutorin Anne 09:13, 15. Jul. 2013 (CEST)
- Ok, das die Verkettung von GS nicht kommutativ ist, war mir nicht klar. Danke
- In Schritt 1) wollte ich andeuten, dass die PS gedreht wird. In Schritt 2) bleibt die PS unverändert. In Schritt 3) deute ich an, dass sich die GS b' und c überlappen und dadurch in ihrer Wirkung aufheben (involutorische Abb.) Schritt 4) ist das Resultat: die verbleibende Verschiebung.--Nolessonlearned 11:00, 15. Jul. 2013 (CEST)
Also in der eingefügten Applikation überlappen sich aber keine Geraden nachdem ich einen 1. Schritt durchgeführt habe. --Tutorin Anne 14:39, 16. Jul. 2013 (CEST)
- Durch eine Verschiebung kann man die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzen.
Begründung: Gegeben Sa o Sb--> Sa(P)= P` und Sb(P`)= P``
Bewegt man nun die Spiegelgerade a so bewegen sich P`und P``und man erkennt dass P=P`. Bewegt man die Spiegelgerade b--> P`bewegt sich p``NICHT.
korrekter Beweis
Vielen Dank für die anschauliche Applikation. Hier ein neuer Versuch.--Nolessonlearned 20:25, 17. Jul. 2013 (CEST)
1) Sa∘Sb = Sa'∘Sb' mit a'⊥b' ∧ a' ∩ d = {N}
mit gleichbleibendem Drehpunkt
Begründung: Eigenschaft der Drehung
2) Sc∘Sd = Sc'∘Sd' mit c'⊥d' ∧ c'∩b' = {M}
mit gleichbleibendem Drehpunkt
Begründung: Eigenschaft der Drehung
3) c' = a'
Begründung: (1); (2); involutorische Abbildung
4) Sa∘Sb∘Sc∘Sd = Sb'∘(Sa'∘Sc')= Identität ∘Sd' = Sb'∘Sd'
mit b' || d'
Begründung: (1); (2); (3)
--Nolessonlearned 20:25, 17. Jul. 2013 (CEST)
*stimmt so. Super NOlessonlearned. Ich würde die Begründung involutorische Abbildung allerdings bei Schritt 4 schreiben, nicht bei 3. Denn bei 3 geht es ja gar nicht um Abbildungen, sondern nur um Geraden.--Tutorin Anne 20:52, 18. Jul. 2013 (CEST)
MEINE FRAGE IST: Von wo wusste Nolessonlearned, dass man für die Verkettung 2 Punktspiegelungen die Verkettung 4 Geradenspiegelungen benötigt?--Blumenkind 13:02, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 13.Juli, 13:00
- Hallo Blumenkind. Sowohl bei der Punktspiegelung als auch bei der Verschiebung handelt es sich jeweils um eine Verkettung von jeweils 2 Geradenspiegelungen. In der Voraussetzung habe ich 4 verkettete GS verwendet, da es sich in der Aufgabenstellung um eine Verkettung von 2 Punktspiegelungen handelt. 2 x 2 = 4. Schau dir mal deren Definitionen an, dann kommst du dahinter. --Nolessonlearned 14:36, 13. Jul. 2013 (CEST)
- Vieeeeelleeen Dank Nolessonlearned;-) Durch die vielen SPIEGELUNGEN komme ich durcheinander;-))--Blumenkind 14:45, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 14:44, 13.Juli
