Lösung von Aufgabe 12.1P (SoSe 13)
Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!
--Tutorin Anne 09:13, 15. Jul. 2013 (CEST)
Voraussetzung
Sa∘Sb∘Sc∘Sd
mit Sa∘Sb ≔ D(M,180), a ∩ b = {M}, a ⊥ b
mit Sc∘Sd ≔ D(N,180), c ∩ d = {N}, c ⊥ d --Nolessonlearned 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)
Behauptung:
Sa'∘Sc' mit a' || c' --Nolessonlearned 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)
| Beweisschritt | Begründung | |
|---|---|---|
| 1) | Sa'∘Sb' mit D(M,180),
a' ⊥ b' ∧ a' || c |
Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Voraussetzung |
| 2) | Sc∘Sd ≔ D(N,180),
c ⊥ d ∧ c || a |
Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Voraussetzung |
| 3) | wir wählen b' = c
mit |∠a',b'| = |∠c,d| = 90 |
(1); (2); Identität; Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Def. involutorische Abbildung |
| 4) | Sa'∘Sd
mit a' || d |
(3);
Eigenschaft d. Translation |
Oh Mann, die Tabelle spinnt mal wieder. :(--Nolessonlearned 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)
- Wie lässt sich die Tabelle automatisch an den Inhalt anpassen? Weiß jemand Rat?--Nolessonlearned 15:54, 13. Jul. 2013 (CEST)
Der Beweis ist so nicht korrekt. Schritt 2 entspricht doch Schritt 1, oder? Ich erkenne auch nicht, dass b auf d liegt. Und allgemein ist die Verkettung von Geradenspiegelungen nicht kommutativ (die Reihenfolge der Spiegelungen darf nicht vertauscht werden). --Tutorin Anne 09:13, 15. Jul. 2013 (CEST)
- Ok, das die Verkettung von GS nicht kommutativ ist, war mir nicht klar. Danke
- In Schritt 1) wollte ich andeuten, dass die PS gedreht wird. In Schritt 2) bleibt die PS unverändert. In Schritt 3) deute ich an, dass sich die GS b' und c überlappen und dadurch in ihrer Wirkung aufheben (involutorische Abb.) Schritt 4) ist das Resultat: die verbleibende Verschiebung.--Nolessonlearned 11:00, 15. Jul. 2013 (CEST)
Also in der eingefügten Applikation überlappen sich aber keine Geraden nachdem ich einen 1. Schritt durchgeführt habe. --Tutorin Anne 14:39, 16. Jul. 2013 (CEST)
- Durch eine Verschiebung kann man die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzen.
Begründung: Gegeben Sa o Sb--> Sa(P)= P` und Sb(P`)= P``
Bewegt man nun die Spiegelgerade a so bewegen sich P`und P``und man erkennt dass P=P`. Bewegt man die Spiegelgerade b--> P`bewegt sich p``NICHT.
korrekter Beweis
Vielen Dank für die anschauliche Applikation. Hier ein neuer Versuch.--Nolessonlearned 20:25, 17. Jul. 2013 (CEST)
1) Sa∘Sb = Sa'∘Sb' mit a'⊥b' ∧ a' ∩ d = {N}
mit gleichbleibendem Drehpunkt
Begründung: Eigenschaft der Drehung
2) Sc∘Sd = Sc'∘Sd' mit c'⊥d' ∧ c'∩b' = {M}
mit gleichbleibendem Drehpunkt
Begründung: Eigenschaft der Drehung
3) c' = a'
Begründung: (1); (2); involutorische Abbildung
4) Sa∘Sb∘Sc∘Sd = Sb'∘(Sa'∘Sc')= Identität ∘Sd' = Sb'∘Sd'
mit b' || d'
Begründung: (1); (2); (3)
--Nolessonlearned 20:25, 17. Jul. 2013 (CEST)
*stimmt so. Super NOlessonlearned. Ich würde die Begründung involutorische Abbildung allerdings bei Schritt 4 schreiben, nicht bei 3. Denn bei 3 geht es ja gar nicht um Abbildungen, sondern nur um Geraden.--Tutorin Anne 20:52, 18. Jul. 2013 (CEST)
MEINE FRAGE IST: Von wo wusste Nolessonlearned, dass man für die Verkettung 2 Punktspiegelungen die Verkettung 4 Geradenspiegelungen benötigt?--Blumenkind 13:02, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 13.Juli, 13:00
- Hallo Blumenkind. Sowohl bei der Punktspiegelung als auch bei der Verschiebung handelt es sich jeweils um eine Verkettung von jeweils 2 Geradenspiegelungen. In der Voraussetzung habe ich 4 verkettete GS verwendet, da es sich in der Aufgabenstellung um eine Verkettung von 2 Punktspiegelungen handelt. 2 x 2 = 4. Schau dir mal deren Definitionen an, dann kommst du dahinter. --Nolessonlearned 14:36, 13. Jul. 2013 (CEST)
- Vieeeeelleeen Dank Nolessonlearned;-) Durch die vielen SPIEGELUNGEN komme ich durcheinander;-))--Blumenkind 14:45, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 14:44, 13.Juli
