Lösung von Aufgabe 12.1P (SoSe 13)

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Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!


--Tutorin Anne 09:13, 15. Jul. 2013 (CEST)


Voraussetzung
Sa∘Sb∘Sc∘Sd
mit Sa∘Sb ≔ D(M,180), a ∩ b = {M}, a ⊥ b
mit Sc∘Sd ≔ D(N,180), c ∩ d = {N}, c ⊥ d --Nolessonlearned 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)


Behauptung:
Sa'∘Sc' mit a' || c' --Nolessonlearned 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)

Beweisschritt Begründung
1) Sa'∘Sb' mit D(M,180),

a' ⊥ b' ∧ a' || c

Eigenschaft d. Punktspiegelung;

Voraussetzung

2) Sc∘Sd ≔ D(N,180),
 c ⊥ d ∧ c || a
Eigenschaft d. Punktspiegelung;

Voraussetzung

3) wir wählen b' = c

mit |∠a',b'| = |∠c,d| = 90

(1); (2); Identität; Eigenschaft d. Punktspiegelung;

Def. involutorische Abbildung

4) Sa'∘Sd

mit a' || d

(3);

Eigenschaft d. Translation

--Nolessonlearned 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)

Oh Mann, die Tabelle spinnt mal wieder. :(--Nolessonlearned 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)

  • Wie lässt sich die Tabelle automatisch an den Inhalt anpassen? Weiß jemand Rat?--Nolessonlearned 15:54, 13. Jul. 2013 (CEST)

Der Beweis ist so nicht korrekt. Schritt 2 entspricht doch Schritt 1, oder? Ich erkenne auch nicht, dass b auf d liegt. Und allgemein ist die Verkettung von Geradenspiegelungen nicht kommutativ (die Reihenfolge der Spiegelungen darf nicht vertauscht werden). --Tutorin Anne 09:13, 15. Jul. 2013 (CEST)

  • Ok, das die Verkettung von GS nicht kommutativ ist, war mir nicht klar. Danke
  • In Schritt 1) wollte ich andeuten, dass die PS gedreht wird. In Schritt 2) bleibt die PS unverändert. In Schritt 3) deute ich an, dass sich die GS b' und c überlappen und dadurch in ihrer Wirkung aufheben (involutorische Abb.) Schritt 4) ist das Resultat: die verbleibende Verschiebung.--Nolessonlearned 11:00, 15. Jul. 2013 (CEST)


Also in der eingefügten Applikation überlappen sich aber keine Geraden nachdem ich einen 1. Schritt durchgeführt habe. --Tutorin Anne 14:39, 16. Jul. 2013 (CEST)

  • Durch eine Verschiebung kann man die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzen.

Begründung: Gegeben Sa o Sb--> Sa(P)= P` und Sb(P`)= P``

                   Bewegt man nun die Spiegelgerade a so bewegen sich P`und P``und man erkennt dass P=P`. Bewegt man die Spiegelgerade b--> P`bewegt sich p``NICHT.


korrekter Beweis

Vielen Dank für die anschauliche Applikation. Hier ein neuer Versuch.--Nolessonlearned 20:25, 17. Jul. 2013 (CEST)

1) Sa∘Sb = Sa'∘Sb' mit a'⊥b' ∧ a' ∩ d = {N}
mit gleichbleibendem Drehpunkt
Begründung: Eigenschaft der Drehung

2) Sc∘Sd = Sc'∘Sd' mit c'⊥d' ∧ c'∩b' = {M}
mit gleichbleibendem Drehpunkt
Begründung: Eigenschaft der Drehung

3) c' = a'
Begründung: (1); (2); involutorische Abbildung

4) Sa∘Sb∘Sc∘Sd = Sb'∘(Sa'∘Sc')= Identität ∘Sd' = Sb'∘Sd'
mit b' || d'
Begründung: (1); (2); (3)
--Nolessonlearned 20:25, 17. Jul. 2013 (CEST)
*stimmt so. Super NOlessonlearned. Ich würde die Begründung involutorische Abbildung allerdings bei Schritt 4 schreiben, nicht bei 3. Denn bei 3 geht es ja gar nicht um Abbildungen, sondern nur um Geraden.--Tutorin Anne 20:52, 18. Jul. 2013 (CEST)
MEINE FRAGE IST: Von wo wusste Nolessonlearned, dass man für die Verkettung 2 Punktspiegelungen die Verkettung 4 Geradenspiegelungen benötigt?--Blumenkind 13:02, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 13.Juli, 13:00

  • Hallo Blumenkind. Sowohl bei der Punktspiegelung als auch bei der Verschiebung handelt es sich jeweils um eine Verkettung von jeweils 2 Geradenspiegelungen. In der Voraussetzung habe ich 4 verkettete GS verwendet, da es sich in der Aufgabenstellung um eine Verkettung von 2 Punktspiegelungen handelt. 2 x 2 = 4. Schau dir mal deren Definitionen an, dann kommst du dahinter. --Nolessonlearned 14:36, 13. Jul. 2013 (CEST)
    • Vieeeeelleeen Dank Nolessonlearned;-) Durch die vielen SPIEGELUNGEN komme ich durcheinander;-))--Blumenkind 14:45, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 14:44, 13.Juli