Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c$ .
b) Welche Eigenschaft der Relation $\|$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

Ich mache mal einen Anfang:
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden
Beh.: $\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c$ .

Annahme: $\ a \| b \land b \| c \Rightarrow$ a nicht parallel zu c

Beweisschritt	Begründung
1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden	Vor.
2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?)	Axiom I/0
3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist	2), Parallelenaxiom
4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--Tutor Andreas 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)	Def. Schnittpkt von Geraden
	Widerspruch zur Vor.

Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, $\ a \| b$, $\ b \| c$
Behauptung: a ist nicht parralel zu c
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c

Nummer	Beweisschritt	Begründung
(1)	a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden	Vor.
(2)	$\ a \| b$	Vor.
(3)	$\ b \| c$	Vor.
(4)	B ε b	Festlegung, Schnittpunkt b, c
(5)	B ε c	Festlegung, Schnittpunkt b, c
(6)	b nicht parallel zu c	Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass $\ b \| c$

somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt: Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:

Das hab ich geschrieben	das gefällt mir daran überhaupt nicht	so wäre es richtig
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c	das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet
"Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5	ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell

Dankeschön --Flo60 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)
vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:

Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, $\ a \| b$, $\ b \| c$
Behauptung: a ist nicht parralel zu c
zu zeigen: a schneidet c

Nummer	Beweisschritt	Begründung
(1)	a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden	Vor.
(2)	$\ a \| b$	Vor.
(3)	$\ b \| c$	Vor.
(4)	A ε a	Schnittpunkt a, c
(5)	A ε c	Schnittpunkt a, c
(6)	b nicht parallel zu c	Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass $\ b \| c$

b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --Flo 21 15:30, 5. Mai 2011 (CEST) Diese Eigenschaft, dass wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation stehtnennt man Transitivität.Klemens 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)