Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 P (SoSe 13): Unterschied zwischen den Versionen
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Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> | Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> | ||
'''a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> .''' <br /><br /> | '''a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> .''' <br /><br /> | ||
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+ | VSS: aTEILTb und bTEILTc | ||
+ | Beh: aTEILTC | ||
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+ | 3. a und c sind jeweils parallele Geraden zu b und a und c gehen beide durch S -----------> (1.) (2.) | ||
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+ | 4. Annahme ist zu verwerfen, da Wiederspruch zum Parallelenaxiom -------------> ( 3.) Def. Parallenaxiom und wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann nicht c durch S ebenso parallel zu b sein | ||
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'''b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?'''<br /><br /> | '''b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?'''<br /><br /> | ||
+ | ---> TRANSITIVITÄT --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:37, 31. Mai | ||
Version vom 31. Mai 2013, 11:37 Uhr
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: .
VSS: aTEILTb und bTEILTc Beh: aTEILTC Annahme: aTEILTNICHTc
BEWEIS:
1. a geschnitten c = {S} -------------------> ANNAHME
2. S ist Element von a und ---------------> (1.)
S ist Element von c
3. a und c sind jeweils parallele Geraden zu b und a und c gehen beide durch S -----------> (1.) (2.)
4. Annahme ist zu verwerfen, da Wiederspruch zum Parallelenaxiom -------------> ( 3.) Def. Parallenaxiom und wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann nicht c durch S ebenso parallel zu b sein
---> Behauptung stimmt--Blumenkind 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:36, 31. Mai
b) Welche Eigenschaft der Relation auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
---> TRANSITIVITÄT --Blumenkind 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:37, 31. Mai