Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 P (SoSe 13): Unterschied zwischen den Versionen

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'''Annahme''': <math>a\ nicht\ ||\ c\ mit\ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\}</math> <br />--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:34, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
'''Annahme''': <math>a\ nicht\ ||\ c\ mit\ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\}</math> <br />--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:34, 16. Jul. 2013 (CEST)
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! Beweisschritt
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| 1)
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| <math>\ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\}</math>
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| Annahme
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| 2)
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| <math>S\ \in\ a\ \wedge\ S\ \in\ c</math>
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| (1); Annahme
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| 3)
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| <math>S\ \in\ a\ mit\ a\ ||\ b\ \wedge\  S\ \in\ b\ mit\ b\ ||\ c</math>
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| (2); Voraussetzung;
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|4)
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|<math>a\ ||\ c\</math>
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|Widerspruch zum Parallelenaxiom;
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Annahme ist zu verwerfen; Behauptung stimmt.
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|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:47, 16. Jul. 2013 (CEST)<br />
  
  

Version vom 16. Juli 2013, 13:47 Uhr

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: \ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c .

VSS: aTEILTb und bTEILTc
Beh: aTEILTC
Annahme: aTEILTNICHTc 

|| - dieses Zeichen heißt parallel zu (das ist eine Relation) und nicht TEILT--Tutorin Anne 18:30, 2. Jun. 2013 (CEST)

BEWEIS:

1. a geschnitten c = {S} -------------------> ANNAHME

2. S ist Element von a und ---------------> (1.)
S ist Element von c

3. a und c sind jeweils parallele Geraden zu b und a und c gehen beide durch S -----------> (1.) (2.)

4. Annahme ist zu verwerfen, da Wiederspruch zum Parallelenaxiom -------------> ( 3.) Def. Parallenaxiom und wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann nicht c durch S ebenso parallel zu b sein

---> Behauptung stimmt--Blumenkind 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:36, 31. Mai


b) Welche Eigenschaft der Relation \|| auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

---> TRANSITIVITÄT --Blumenkind 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:37, 31. Mai

Voraussetzung: Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): a\ ||\ b\ \wedge\ b\ ||\ c\ \Rightarrow \ a\ ||\ c\\mit\ a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {leer} \right\} \ ,\ \ b\ \cap\ c\ =\ \left\{ {leer} \right\}


Behauptung: a\ ||\ b\ mit\ \ a\ \cap\ c\ =\left\{ {leer} \right\}

Annahme: a\ nicht\ ||\ c\ mit\ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\}
--Nolessonlearned 13:34, 16. Jul. 2013 (CEST)

Beweisschritt Begründung
1) \ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\} Annahme
2) S\ \in\ a\ \wedge\ S\ \in\ c (1); Annahme
3) S\ \in\ a\ mit\ a\ ||\ b\ \wedge\ S\ \in\ b\ mit\ b\ ||\ c (2); Voraussetzung;
4) Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): a\ ||\ c\ Widerspruch zum Parallelenaxiom;

Annahme ist zu verwerfen; Behauptung stimmt.

--Nolessonlearned 13:47, 16. Jul. 2013 (CEST)
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