Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 P (SoSe 13)

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c$ .

VSS: aTEILTb und bTEILTc
Beh: aTEILTC
Annahme: aTEILTNICHTc

$||$ - dieses Zeichen heißt parallel zu (das ist eine Relation) und nicht TEILT--Tutorin Anne 18:30, 2. Jun. 2013 (CEST)

BEWEIS:

1. a geschnitten c = {S} -------------------> ANNAHME

2. S ist Element von a und ---------------> (1.)
S ist Element von c

3. a und c sind jeweils parallele Geraden zu b und a und c gehen beide durch S -----------> (1.) (2.)

4. Annahme ist zu verwerfen, da Wiederspruch zum Parallelenaxiom -------------> ( 3.) Def. Parallenaxiom und wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann nicht c durch S ebenso parallel zu b sein

---> Behauptung stimmt--Blumenkind 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:36, 31. Mai

b) Welche Eigenschaft der Relation $\||$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

---> TRANSITIVITÄT --Blumenkind 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:37, 31. Mai

Voraussetzung:

Behauptung: $a\ ||\ b\ mit\ \ a\ \cap\ c\ =\left\{ {leer} \right\}$

Annahme: $a\ nicht\ ||\ c\ mit\ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\}$
--Nolessonlearned 13:34, 16. Jul. 2013 (CEST)

	Beweisschritt	Begründung
1)	$\ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\}$	Annahme
2)	$S\ \in\ a\ \wedge\ S\ \in\ c$	(1); Annahme
3)	$S\ \in\ a\ mit\ a\ ||\ b\ \wedge\ S\ \in\ b\ mit\ b\ ||\ c$	(2); Voraussetzung;
4)		Widerspruch zum Parallelenaxiom; Annahme ist zu verwerfen; Behauptung stimmt.

--Nolessonlearned 13:47, 16. Jul. 2013 (CEST)