Serie 5 (WS 12 13)

weitere Aufgaben zur Inzidenz

„Man muß jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen können.“
David Hilbert (1862-1943)

Aufgabe 5.1

Begründen Sie:

1. Jedes Modell für die Inzidenzaxiome der Ebene beinhaltet wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.
2. Jedes Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes beinhaltet wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.

Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)

Aufgabe 5.2

Gegeben seien eine rote Kugel aus Knete ($R$), eine blaue Kugel aus Knete ($B$), eine grüne Kugel aus Knete ($G$) und eine schwarze Kugel aus Knete ($K$). Aus einem Mikadospiel wurde jeweils genau ein Repräsentant der folgenden Stäbchenart entnommen: Mikado, Mandarin, Bonzen und Samurai.
Wir betrachten das folgende Modell für die Inzidenz:

• Menge aller Punkte $\mathbb{P}:=\{R. G, B, K\}$
• Menge aller Geraden $\mathbb{G}:=\{Mikado, Mandarin, Bonzen, Samurei, Kuli\}$

Die Inzidenzrelation interpretieren wir wie folgt: Ein Modellpunkt inziert mit einer Modellgeraden, wenn der Modellpunkt auf die Modellgerade gesteckt wurde.
Wir lassen die Modellpunkte mit den Modellgeraden jetzt wie folgt inzidieren:

• R und G inzidieren mit Mikado
• G und B inzidieren mit Mandarin
• B und R inzidieren mit Bonzen
• R und K inzidieren mit Samurai
• G und K inzidieren mit Kuli

(c) || Ergänzen Sie das Modell Sie derart, dass die Inzidenzaxiome I.1 bis I.7 erfüllt sind.

(a)
(b)
(d)
(e)

Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)

Aufgabe 5.3

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt:
Wenn $C \in \ AB^{+}$ und $\left| AB \right| < \left| AC \right|$ dann gilt $\operatorname Zw (A, B, C)$

Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)

Aufgabe 5.4

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AC}$ auf $\ AB^{+}$ mit $\left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right|$ und $\overline{AB}$ $\subset$ $\overline{AC}$

Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)

Weitere Aufgabe zur Inzidenz

Aufgabe 5.5

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).

Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)