Serie 8 (WS 12 13: Unterschied zwischen den Versionen
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Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen? | Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen? | ||
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| − | == Aufgabe | + | == Aufgabe 8.2 == |
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Student XY argumentiert: "Weil <math>\overline{AB} </math> komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex."<br /> | Student XY argumentiert: "Weil <math>\overline{AB} </math> komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex."<br /> | ||
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| − | == Aufgabe | + | == Aufgabe 8.3 == |
'''Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.'''<br /><br /> | '''Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.'''<br /><br /> | ||
a) Beweisen Sie den Satz.<br /> | a) Beweisen Sie den Satz.<br /> | ||
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[[Lösung von Aufgabe 8.3 (WS_12_13)]] | [[Lösung von Aufgabe 8.3 (WS_12_13)]] | ||
| − | == Aufgabe | + | == Aufgabe 8.4 == |
Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math><br /> | Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math><br /> | ||
("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene '''ohne''' die Gerade, die die Ebene teilt).<br /> | ("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene '''ohne''' die Gerade, die die Ebene teilt).<br /> | ||
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[[Lösung von Aufgabe 8.4 (WS_12_13)]] | [[Lösung von Aufgabe 8.4 (WS_12_13)]] | ||
| − | == Aufgabe | + | == Aufgabe 8.5 == |
Definieren Sie den Begriff Inneres eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> als Schnittmenge gewisser Halbebenen. | Definieren Sie den Begriff Inneres eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> als Schnittmenge gewisser Halbebenen. | ||
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[[Lösung von Aufgabe 8.5 (WS_12_13)]] | [[Lösung von Aufgabe 8.5 (WS_12_13)]] | ||
| − | == Aufgabe | + | == Aufgabe 8.6 == |
Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math>\varepsilon</math>. Ferner seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte der Ebene Epsilon. Keiner dieser drei Punkte möge zu <math>g</math> gehören. Es gelte: <math>B \in gA^+</math>.<br /> | Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math>\varepsilon</math>. Ferner seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte der Ebene Epsilon. Keiner dieser drei Punkte möge zu <math>g</math> gehören. Es gelte: <math>B \in gA^+</math>.<br /> | ||
Aktuelle Version vom 15. Dezember 2012, 18:45 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 8.1
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?
a) 
b) 
c) 
geschnitten mit dem Kreis um 
durch 
=
d)
Lösung von Aufgabe 8.1 (WS_12_13)
Aufgabe 8.2
Student XY argumentiert: "Weil 
komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex."
Wo liegt XYs Denkfehler?
Lösung von Aufgabe 8.2 (WS_12_13)
Aufgabe 8.3
Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
a) Beweisen Sie den Satz.
b) Wie lautet die Kontraposition?
c) Wie lautet die Umkehrung? Widerlegen Sie die Umkehrung durch eine Skizze.
Lösung von Aufgabe 8.3 (WS_12_13)
Aufgabe 8.4
Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen 
und 
("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene ohne die Gerade, die die Ebene teilt).
Definition (offene Halbebene):
- Es sei E eine Ebene, in der die Gerade g und der Punkt Q liegen mögen. Q gehöre nicht zu g. Unter den offenen Teilmengen und bezüglich der Trägergeraden g versteht man die folgenden Teilmengen von E:
- Es sei E eine Ebene, in der die Gerade g und der Punkt Q liegen mögen. Q gehöre nicht zu g. Unter den offenen Teilmengen
Lösung von Aufgabe 8.4 (WS_12_13)
Aufgabe 8.5
Definieren Sie den Begriff Inneres eines Dreiecks 
als Schnittmenge gewisser Halbebenen.
Lösung von Aufgabe 8.5 (WS_12_13)
Aufgabe 8.6
Es sei 
eine Gerade der Ebene 
. Ferner seien 
drei nicht kollineare Punkte der Ebene Epsilon. Keiner dieser drei Punkte möge zu gehören. Es gelte: 
.
Beweisen Sie:
(a) 
(b) 
