Übung 7

Aufgabe 7.1

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$ und $\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$.

Lösung von Aufgabe 7.1

Aufgabe 7.2

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|$ und $\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}$.

Lösung von Aufgabe 7.2

Aufgabe 7.3

Der Punkt $\ B$ möge die Strecke $\overline{AC}$ derart in die Teilstrecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ teilen, dass $\left| AB \right| > \left| BC \right|$ gilt. Beweisen Sie:
Wenn $\frac{ \left| AC \right| }{\left| AB \right| } = \frac{\left| AB \right| }{\left| BC \right| }$, dann $\frac{ \left| AC \right| }{\left| AB \right|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Lösung von Aufgabe 7.3

Aufgabe 7.4

Definieren noch einmal die Begriffe Halbgerade $\ AQ^{+}$ und $\ AQ^{-}$. In diesen neuen Definitionen dürfen Sie die Zwischenrelation nicht explizit verwenden. Beweisen Sie dann, dass Ihre neuen Definitionen zur | Definition II.3 äquivalent sind.

Lösung von Aufgabe 7.4

Aufgabe 7.5

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Lösung von Aufgabe 7.5

Aufgabe 7.6

Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 7.5.

Lösung von Aufgabe 7.6

Aufgabe 7.7

Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 7.5 nicht wahr ist.

Lösung von Aufgabe 7.7

Aufgabe 7.8

Unter einem Dreieck versteht man die Vereinigungsmenge von drei besonderen Strecken (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand.). Definieren Sie den Begriff Dreieck $\overline{ABC}$.

Lösung von Aufgabe 7.8

Aufgabe 7.9

Definieren Sie mittels des Schnitts geeigneter Halbebenen den Begriff des Inneren eines Dreiecks $\overline{ABC}$.

Lösung von Aufgabe 7.9

Aufgabe 7.10

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

Lösung von Aufgabe 7.10