Übung Aufgaben 3 (WS 11/12)

Aufgaben zu Definitionen, Sätze und erste Beweise

Aufgabe 3.1

Handelt es sich im Folgenden um einen Satz oder um eine Definition?
Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten dieses Dreiecks.
Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Unterschied zwischen einer Definition und einem Satz.
Lösung von Aufgabe 3.1 (WS_11/12)

Aufgabe 3.2

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie!

1. Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm.
2. Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm.
3. Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden.
4. Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme.
   

Lösung von Aufgabe 3.2 (WS_11/12)

Aufgabe 3.3

Wir gehen von folgender Definition aus:
Eine Winkelhalbierende eines Winkels $\angle (p,q)$ ist ein Strahl l, der im Inneren des Winkels $\angle (p,q)$ liegt, den Scheitel des Winkels $\angle (p,q)$ als Anfangspunkt besitzt und diesen Winkel in zwei gleich große Winkel $\angle (p,l)$ und $\angle (l,q)$ unterteilt.
Außerdem sei folgende genetische Definition gegeben:

• Gegeben sei ein Winkel $\angle (p,q)$.
• Man konstruiere auf den beiden Schenkeln des Winkels $\angle (p,q)$ zwei Punkte P und Q, die vom Scheitel S des Winkels $\angle (p,q)$ gleich weit entfernt sind.
• Man konstruiere die Strecke $\overline{PQ}$.
• Man konstruiere den Mittelpunkt M der Strecke $\overline{PQ}$.
• Man konstruiere den Strahl w mit dem Anfangspunkt S, der durch den Punkt M verläuft.
• Dieser Strahl w ist die Winkelhalbierende.
  
  

Beweisen Sie, dass durch diese Konstruktionsvorschrift tatsächlich die Winkelhalbierende entsprechend der angegebenen Definition entsteht.
Lösung von Aufgabe 3.3 (WS_11/12)

Aufgabe 3.4

Beweisen Sie auf der Grundlage der Definition aus Aufgabe 3.3:
Die Winkelhalbierende eines Winkels ist die Menge aller Punkte, die im Inneren des Winkels liegen und deren Abstände von den beiden Schenkeln des Winkels jeweils gleich sind.
Anmerkung:

• Der Abstand eines Punktes P auf eine Gerade g ist die Länge des Lotes von P auf g.
• Der Beweis geht in zwei Schritten: Sie müssen erstens zeigen, dass jeder Punkt der Winkelhalbierenden (entspr. Def. Aufg. 3.3) von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand hat und zweitens, dass jeder Punkt, der von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand hat und im Inneren des Winkels liegt, zur Winkelhalbierenden (entspr. Def. Aufg. 3.3) gehört.
• Die Beweise lassen sich mit Hilfe der Kongruenzsätze führen, die Sie aus der Schule bereits kennen sollten.

Lösung von Aufgabe 3.4 (WS_11/12)

Aufgabe 3.5

Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert:
Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Gerade g, die durch den Mittelpunkt von $\overline{AB}$ verläuft und zu dieser Strecke $\overline{AB}$ senkrecht steht.
Beweisen Sie folgenden Satz:
Die Mittelsenkrechte m einer beliebigen Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte P, die von A und B denselben Abstand haben:
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).
Lösung von Aufgabe 3.5 (WS_11/12)