Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium SoSe 13

Der Basiswinkelsatz Gleichschenklige Dreiecke Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter. Übungsaufgabe Der Basiswinkelsatz Satz VII.5: Basiswinkelsatz In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. Schulvariante des Beweises des Basiswinkelsatzes Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende des Winkels, der der Basis des gleichschenkligen Dreiecks gegenüberliegt. Die Winkelhalbierende muss dann die Basis des Dreiecks schneiden. Diese unmittelbar einsichtige Tatsache muss eigentlich bwiesen werden. Wir verweisen diesbezüglich auf die Lemmata zu Winkeln. Hinweis: Im folgenden Beweis berufen wir uns auf Lemma 1. Korrekterweise müsste es Lemma W/3 heißen. Sobald ich Zeit finde werde ich die App überarbeiten. --*m.g.* 08:34, 30. Jun. 2013 (CEST) Beweis des Basiswinkelsatzes Das Mittelsenkrechtenkriterium Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) Ein Punkt $\ P$ gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$, wenn $\overline{AP} \tilde {=} \overline{BP}$ gilt. Bezug zur Schule: Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ mittels Zirkel und Lineal: Konstruktionsvorschrift: gegeben: Strecke $\overline{AB}$ gesucht: $\ m$ , die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ Schrittnr. Konstruktionsschritt 1. Zeichne einen Kreis um $\ A$, dessen Radius $\ r$ länger als die Hälfte der Länge der Strecke $\overline{AB}$ ist. 2. Behalte $\ r$ bei und zeichne einen Kreis um $\ B$. 3. Der Kreis um $\ A$ schneidet den Kreis um $\ B$ in den beiden Schnittpunkten $\ S_1$ und $\ S_2$. 4. Zeichne die Gerade $\ S_1S_2$. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$. Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist $\ S_1S_2$ wirklich die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$? Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen: Satz VII.6 a: Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$. Beweis von Satz VII.6 a Übungsaufgabe (Das Video hilft) Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte $\ S_1$ und $\ S_2$ Punkte der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ sind. Die Wahl des Radius $\ r$ der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für $\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |$. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten. Die Frage anders formuliert: Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ jeweils ein und denselben Abstand? Noch anders formuliert: Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ notwendigerweise zu $\ A$ und zu $\ B$ ein und denselben Abstand? Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv: Satz VII.6 b Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand. Beweis: Übungsaufgabe Die Umkehrung des Basiswinkelsatzes Satz VII.7 Wenn ein Dreieck zwei zueinander kongruente Innenwinkel hat, dann ist das Dreieck gleichschenklig.