Bewegungen (2010)

Der Begriff der Bewegung

Abstraktion von den physikalischen Gegebenheiten

Die Materie scheint schwer genug zu sein. Wir werden unsere Betrachtungen auf eine einzige Ebene ε einschränken.

Die Lochschablone ist nichts anderes als das Modell unserer Ebene. Leider muss jedes physikalische Modell, mit dem der Schüler auch noch konkret handelnd tätig werden soll, flächenmäßig beschränkt sein.Für den mathematischen Bewegungsbegriff abstrahieren wir von dieser Beschränktheit. Das ist uns eigentlich schon länger klar, soll an dieser Stelle jedoch noch einmal besonders hervorgehoben und betont werden.

Hinter der Idee des Kopierens steckt nichts anderes als der mathematische Abbildungsbegriff. Jedem Original wird ein Bild zugeordnet.

Der Definitionsbereich für unsere Abbildungen ist die gesamte Ebene. Ihr Bild ist sie selbst. Jeder Punkt der Ebene ε wird auf genau einen Punkt der Ebene ε abgebildet. Aus mathematischer Sicht ist es egal, ob unser Ebenenmodell aus Plastik oder Glas ist. Aus Gummi dürfte es allerdings nicht sein, denn Gummimatten sind mit Sicherheit nicht starr. Die Starrheit bedeutet nichts weiter, als dass zwei Originalpunkte denselben Abstand haben wie ihre Bildpunkte.

Der Begriff der Bewegung

Definition

Definition 1.1: Bewegung

Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, die abstandserhaltend ist.

korrekt. wie könnte man noch formulieren? --*m.g.* 16:09, 20. Okt. 2010 (UTC)

Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, die die Streckenlängen invariant lässt.

Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der die Strecken gleich lang sind.

Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der jede Originalstrecke gleichlang zu ihrer Bildstrecke ist.

Es sei $\phi$ eine Abbildung der Ebene $\epsilon$ auf sich selbst. $\phi$ ist eine Bwegung, wenn $\forall A, B \in \epsilon : |AB| =|\phi(A) \phi(B)|$ gilt.

Bemerkung: Der Begriff der Kongruenzabbildung ist synonym zum Bewegungsbegriff.

Eigenschaften von Bewegungen

Satz 1.1: (Bijektivität von Bewegungen)

Jede Bewegung ist eine Bijektion.

Beweis von Satz 1.1

Vorüberlegungen

Es sei $\ \beta$ eine Bewegung, die die Ebene $\epsilon$ auf sich selbst abbildet.

Wir haben zu zeigen, dass $\ \beta$ ein Bijektion ist.
Hierzu haben wir zu zeigen, dass die Abbildung $\ \beta$

• surjektiv

und

• injektiv

ist.

Surjektivität

Die Surjektivität ergibt sich entsprechend der Definition 1.1 (Abbildung auf)

Injektivität

Alle unsere folgenden Bemerkungen beziehen sich auf ein und dieselbe Ebene $\epsilon$. Wir verzichten deshalb darauf, die Zugehörigkeit der im folgenden verwendeten Punkte zu $\epsilon$ explizit zu betonen. Die gestrichenen Punktbezeichnungen mögen immer das Bild des Punktes mit der entsprechenden ungestrichenen Punktbezeichnung bezüglich der Bewegung $\beta$ kennzeichnen.

zu zeigen:

1. Jeder Punkt $\ P'$ ist das Bild von maximal einem Punkt $\ P$.
   
   oder
   
   
2. Je zwei verschiedene Originalpunkte $\ P$ und $\ Q$ haben nicht dasselbe Bild.
   
   oder
   
   
3. $P \ne Q\Rightarrow P' \ne Q'$

Wir entscheiden uns dafür, 3. zu zeigen.

Wir führen den Beweis indirekt. (Ergänzen Sie den Beweis!)

Voraussetzung:	$P \ne Q$
Behauptung:	$P' \ne Q'$
Annahme:	$\ P' = Q'$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Der Abstand von $\ P'$ zu $\ Q'$ ist gleich 0.	Annahme + Abstandsaxiom (Axiom II.1)
(II)	Der Abstand von $\ P$ zu $\ Q$ ist größer als 0.	Voraussetzung + Abstandsaxiom
(III)	(I) und (II) widersprechen sich.	Definition Bewegung (als Abbildung der Ebene auf sich, mit invarianten Abständen von beliebigen Punktpaaren. )--Tja??? 17:37, 19. Okt. 2010 (UTC)

Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen)

Die Nacheinanderausführung zweier Bewegungen ist eine Bewegung.

Beweis von Satz 1.2

Lösung_von_Aufgabe_1.3_WS2010)

Satz 1.3: (Zwischenrelation als Invariante von Bewegungen)

Die Zwischenrelation ist eine Invariante bei jeder Bewegung.

Beweis von Satz 1.3

siehe Lösung_von_Aufgabe_1.2_WS2010

Satz 1.4: (Geradentreue, Halgeradentreue, Streckentreue, Schnittpunkttreue bei Bewegungen)

Für eine jede Bewegung $\ \beta$ gilt:

(a)	Das Bild einer Geraden ist eine Gerade.
(b)	Das Bild einer Halbgeraden $\ AP^+$ ist eine Halgerade mit dem Anfagspunkt $\ \beta(A)$.
(c)	Das Bild einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Strecke $\overline{\beta(A)\beta(B)}$
(d)	Falls zwei Geraden, Strecken, Halbgeraden oder zwei verschiedene dieser Figuren einen Punkt $\ P$ gemeinsam haben, so haben die Bildfiguren den Punkt $\ \beta(P)$ gemeinsam.

Beweis von Satz 1.4:

Die Beweise ergeben sich mehr oder weniger unmittelbar aus Satz 1.3.

Fühlen Sie sich frei zu üben.

a) Das Bild einer Geraden ist eine Gerade

Voraussetzung: $AB$ ist eine Gerade
Behauptung: $A'B'$ ist das Bild von $AB$

Beweis

Beschreibung des Schrittes	Begründung der Korrektheit des Schrittes
(1) Es existiert ein Punkt P: Zw(A,P,B) und P liegt auf $AB$	Definition Zwischen
(2) $\ |AP| + |PB| = |AB|$	Definition Zwischen
(3) $\ |AP| = |A'P'|$, $\ |PB| = |P'B'|$, $\ |AB| = |A'B'|$	Definition Bewegung
(4) $\ |A'P'| + |P'B'| = |A'B'|$	(2) und (3)
(5) Zw(A',P',B')	(4) und Zwischenrelation
(6) $A'B'$ ist das Bild von $AB$	(5)

Stimmt dieser Beweis, den ich hier geschrieben habe?--Mirasol 14:03, 15. Nov. 2010 (UTC)

Ich denke der Beweis ist nicht vollständig. Damit ist lediglich die STreckeninvarianz gezeigt, nicht aber die GEradeninvarianz.
Deshalb mein Vorschlag:--Tja??? 21:55, 28. Nov. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Bewegung $\beta$, Gerade g
Behauptung: $\beta (g) = h$

Beweis

Beschreibung des Schrittes	Begründung der Korrektheit des Schrittes
(1) Es exisiteren zwei Punkte A und B auf g,die nicht identisch sind.	Inzidenzaxiom I.0
(2) Es existieret eine Gerade h durch A' und B'.	(1) und Inzidenzaxiom I.1
(3) Es sei P ein beliebiger fester Punkt auf der Geraden g. Es gilt eine der drei Zwischenrelationen: Zw(P,A,B) oder Zw(A,P,B) oder Zw(A,B,P)	Abstandsaxiom 3 und koll(A,B,P)
(4) Dann gilt genau die jeweilige Zwischenrelation Zw(P',A',B') oder Zw(A',P',B') oder Zw(A',B',P')	(3)+ Satz 1.3
(5) koll(A',B',P')	(4) + Abstandsaxiom 3
(6) P' Element h	(5)
(7) $\beta (g) = h$	(6) +(4)

Eventuell kann man schritt (5) und (6) auch weglassen ?

Satz 1.5: (Winkelgröße als Invariante bei Bewegungen)

Für jede Bewegung $\ \beta$ und jeden Winkel $\angle ASB$ gilt:

$| \angle ASB| = | \angle \beta(A) \beta(S) \beta(B)|$

Beweis von Satz 1.5:

Abstandserhaltung von $\ \beta$und der Kongruenzsatz SSS helfen bei der Führung des Beweises.