Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (SoSe 11)

Der Begriff des Lotes

Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)

Es sei $\ P$ ein Punkt, der nicht zur Geraden $\ g$ gehören möge. ...

Definition:
Es sei $\ P$ ein Punkt, der nicht zur Geraden $\ g$ gehören möge, die Grade durch $\ P$ und $\ g$, die senkrecht zu g ist heißt Lotgerade. Der Schnittpunkt $\ S$ von $\ P$ und $\ g$ heißt Lotfußpunkt, die Strecke $\overline{SP}$ Lot.--Peterpummel 20:38, 2. Jul. 2011 (CEST)
Der Schnittpunkt von $\operatorname {P}$ und $\operatorname {g}$... da $P \not\in g$ vorher in der Def. vorkommt, kann dies garnicht eintreten. --Tutor Andreas 10:33, 8. Jul. 2011 (CEST)

Es sei \ P ein Punkt, der nicht zur Geraden \ g gehören möge, die Gerade durch \ P und \ g, die senkrecht zu g ist heißt Lotgerade l. Der Schnittpunkt \ S von \ l und \ g heißt Lotfußpunkt, die Strecke \overline{SP} SP heißt Lot.--

Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)

Es sei $\ P$ ein Punkt außerhalb von $\ g$. Der Abstand von $\ P$ zu $\ g$ ist ...

Defintion:
Es sei $\ P$ ein Punkt außerhalb von $\ g$. Der Abstand von $\ P$ zu $\ g$ ist die Länge des Lots von $\ P$ auf $\ g$
--Peterpummel 20:40, 2. Jul. 2011 (CEST)

Es sei $\ P$ ein Punkt außerhalb von $\ g$. Der Abstand von $\ P$ zu $\ g$ ist eine nicht negative reelle Zahl d. --Teufelchen 18:40, 3. Jul. 2011 (CEST)

Als Abstand eines Punktes P von einer Geraden g wird der Abstand |PQ| bezeichnet, wobei Q der Fußpunkt des Lotes von P auf g ist.--mm_l 11:51, 13. Jul. 2011 (CEST)

Existenz und Eindeutigkeit des Lotes

Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)

Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es genau ein Lot von $\ P$ auf $\ g$.

Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:

Übungsaufgabe

$\ Existenz$
$\ Voraussetzung:\ Sei \ g \ eine \ Gerade \ und \ P \ ein \ Punkt \ mit \ P \ \not\in \ g$
$\ Behauptung:\ Es \ existiert \ ein \ Lot \ von \ P \ auf \ g$
$\ Annahme: \ Sei \ S \ ein \ Punkt \ mit \ S \in \ g$
$\Rightarrow \exists ! \ Q \in \ gP^+ mit |\angle gQ| = 90, nach \ dem \ Winkelkonstruktionsaxiom$
$\ Betrachte \ nun \ die \ eindeutige \ Parallele \ l \ von \ SQ \ durch \ P ,die \ g \ in \ T \ schneidet (n. E.P. und \ dem \ Korallar \ davon)$
$\Rightarrow \angle gP \ ist \ Stufenwinkel \ von \ \angle gQ\Rightarrow |\angle gP|=90, \ nach \ dem \ Stufenwinkelsatz$
$\Rightarrow \overline{PT} \ ist \ Lot \ auf \ g \ durch \ P$

Die Eindeutigkeit der Parallele hatten wir schon in einer anderen Übung gezeigt, aus ihr folgt die Eindeutigkeit des Lots.--Peterpummel 13:30, 7. Jul. 2011 (CEST)
Ich glaube nicht, dass in einer Übung die Eindeutigkeit einer Parallelen gezeigt bzw. bewiesen wurde... vllt. wurde die Existens einer Parallelen gezeigt, aber wenn die Eindeutigkeit bewiesen worden wäre, dann widerspräche das dem Parallelenaxiom.--Tutor Andreas 10:38, 8. Jul. 2011 (CEST) Anmerkung: Das stimmt, aber aus der Existenz + dem EP => die Eindeutigkeit. In der Übung wurde nur das EP gefordert. Aus dem Stufenwinkelsatz folgt dann die Existenz.--Peterpummel 19:47, 9. Jul. 2011 (CEST)

Wenn du das EP oder den Stufenwinkelsatz verwendest, befindest du dich aber in der Euklidischen Geometrie und nicht mehr in der absoluten Geometrie. Es ist auch möglich, die Existenz des Lotes mit einer Hilfskonstruktion zu beweisen, indem
1) G ein Punkt auf g sei, in dem eine konstruierte Gerade durch P g schneidet
2) man den entstandenen Winkel misst (Winkelmaßaxiom)
3) man einen entsprechenden Winkel in der anderen Halbebene konstruiert (Winkelkonstruktionsaxiom)
4) man auf dem neu entstandenen Strahl einen Punkt P' abträgt, für den gilt $\overline{GP} \tilde = \overline{GP'}$ (Axiom vom Lineal)
5) es entsteht ein Schnittpunkt L der Geraden g mit der Strecke $\overline{PP'}$
6) nach SWS (wir wissen, dass $\overline{GP} \tilde = \overline{GP'}$, $\angle PGL \tilde = \angle P'GL$ und $\overline{LG} \tilde = \overline{LG}$) sind nun auch die Dreiecke kongruent und daher gilt auch $\angle PLG \tilde = \angle P'LG$
7) Da diese Winkel nun kongruente Nebenwinkel sind, sind es rechte Winkel. Daher wissen wir, dass $\overline{LP}$ das Lot von P auf g ist.

Hoffe mit der Darstellung ist die Idee verständlich. Die Eindeutigkeit ist recht schnell durch Widerspruch bewiesen. Geht man von einem zweiten Lot aus, kann man über den schwachen Außenwinkelsatz zeigen, dass nicht beide Winkel rechte Winkel sein können.--Matthias 15:18, 16. Jul. 2011 (CEST)