Definitionen

Definitionen

Definition des Begriffs der Relation:

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$stellige Relation.

Definition: (Äquivalenzrelation)

Eine Relation $\ R$ in einer Menge $\ M$ heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Definition I.2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)

Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I.5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I.6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Definition I.7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I.8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I.9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I.10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E₁ und E₂ sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d = \left| AB \right|$.

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Ein Punkt $\ B$ liegt zwischen zwei Punkten $\ A$ und $\ C$, wenn $\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ gilt und der Punkt $\ B$ sowohl von $\ A$ als auch von $\ C$ verschieden ist.

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die $\ A$ und $\ B$ sowie alle Punkte, die zwischen $\ A$ und $\ B$ liegen, enthält, heißt Strecke $\overline{AB}$. Stimmt das? --Sternchen 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

Unter der Strecke $\overline{AB}$ versteht man folgende Punktmenge: $\overline{AB} := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \} \cup \{ A,B \}$ --Mathemagic 11:39, 31. Dez. 2011 (CET)

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Der Abstand $\vert AB \vert$ heißt Länge der Strecke $\overline{AB}$. OK? --Sternchen 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Lösung_von_Aufgabe_6.5

Eine informelle Definition:

Definition: Halbgerade $AB^+$

Gegeben seien zwei verschiedene Punkte $\ A$ und $\ B$. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden $\ AB^+$ versteht man die Strecke $\overline{AB}$ vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man $\overline{AB}$ über $\ B$ hinaus verlängert.

Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade $\ AB^+$.

Definition: Halbgerade $AB^+$

$AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}$

diese Lösung ist richtig!--Schnirch 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)

Lösung_von_Aufgabe_6.6

Gegeben seien zwei nicht identische Punkte $\ A$ und $\ B$. Unter $\ AB^-$ wollen wir die Menge aller Punkte $\ P$ verstehen, die man erhält, wenn man $\overline{A B}$ über $\ A$ hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte $\ P$ an.

Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

$AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}$

diese Lösung ist richtig! --Schnirch 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $\ M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $\ A$ und $\ B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$, der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Punktmengen:

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

muss es nicht heißen: $\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$ \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder? --Frühling 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

Definition IV.2: (Halbebene)

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \Epsilon$. $\ gQ^+$ und $\ gQ^-$ seien die beiden offenen Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ mit jeweils dieser Geraden $\ g$ entstehen.

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Fehlt dann bei der Definition von gQ- nicht die Trägergerade g? g gehört doch im Falle der geschlossenen Halbebenen zu beiden HE dazu?

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: $\ g Q^+$, (geschlossene) Halbebene: $\ g Q^+$. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass $\ g Q^+$ bzw. $\ g Q^-$ immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.

--*m.g.* 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --Rakorium 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)

Eine Menge $\ M$ von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ dieser Menge die gesamte Strecke $\overline{AB}$ zu $\ M$ gehört.

Definition V.1: (Winkel)

Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.

Definition V.2: (Inneres eines Winkels)

Das Innere eines Winkels $\angle ASB$ ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen $\ SA,B^+$ und $\ SB,A^+$

Definition V.3: (Scheitelwinkel)

Die Winkel $\angle SA^+,SB^+$ und $\angle SA^-,SB^-$ sind Scheitelwinkel.

Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn ihre Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden. --Gänseblümchen 09:10, 28. Jul. 2010 (UTC)

Definition V.4: (Nebenwinkel)

Die Winkel $\angle SA^+,SB^+$ und $\angle SA^-,SB^+$ sind Nebenwinkel.

Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen gemeinsamen Schenkel haben und die anderen 2 Schenkel eine Gerade bilden. --Gänseblümchen 09:14, 28. Jul. 2010 (UTC)

Definition V.5: (Größe eines Winkels)

Die Zahl $\ \omega$, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $\ \alpha$ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $\ \alpha$ genannt.
In Zeichen: $\omega = \left| \alpha \right|$.

Definition V.6 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.7 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

Es seien $\ g$ und $\ h$ zwei Geraden. Wenn sich $\ g$ und $\ h$ schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden $\ g$ und $\ h$ senkrecht aufeinader.

In Zeichen: $\ g \perp \ h$ (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht)

Eine Gerade $\ g$ und eine Strecke $\overline{AB}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die $\ g$ und die Gerade $\ AB$ senkrecht aufeinander stehen.

Ergänzen Sie:

Eine Strecke $\ \overline{AB}$ und eine Strecke $\ \overline{CD}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --Maude001 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

Eine Gerade $\ g$ und eine Ebene $\epsilon$ stehen senkrecht aufeinander, wenn es in $\epsilon$ ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in $\epsilon$ liegen und auf die $g$ senkrecht steht. --Löwenzahn 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)

Es sei $\ m$ eine Gerade und $\overline{AB}$ eine Strecke, die durch $\ m$ im Punkt $\ M$ geschnitten wird. $\ m$ ist die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$, wenn

1. $m \perp AB$
2. $\left| AM \right| = \left| MB \right|$

Definition VI.2

Es seien $\ p$,$\ w$ und $\ q$ drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt $\ S$. Die Halbgerade $\ w$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $\angle pq$, wenn $\ w$ im Inneren von $\angle pq$ liegt und die beiden Winkel $\angle pw$ und $\angle wq$ dieselbe Größe haben.

Definition VII.1: (Streckenkongruenz)

Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.

In Zeichen $\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|$

Definition VII.2 : (Winkelkongruenz)

Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.

In Zeichen: $\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |$

Definition VII.3: (Dreieckskongruenz)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 6 Kongruenzen

1. $\overline{AB} \cong \overline{DE}$
2. $\overline{BC} \cong \overline{EF}$
3. $\overline{AC} \cong \overline{DF}$
4. $\angle CAB \cong \angle FDE$
5. $\angle ABC \cong \angle DEF$
6. $\angle ACB \cong \angle DFE$

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)

as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übung 11 Aufgabe 1

Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

--Rakorium 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)

Definition VII.4 : (Peripheriewinkel)

Ein Winkel heißt Peripheriewinkel, wenn der Scheitel des Winkel Element eines Kreises ist, und die beiden Schenkel den Kreis jeweils in genau einem (weiteren!) Punkt schneiden. --Gänseblümchen 09:42, 28. Jul. 2010 (UTC)