Lösung von Aufg. 14.8 (SoSe 11)

Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich bin genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

Darf ich bei diesem Beweis die Def am Kreis (Radius) verwenden? Muss ich zeigen, dass die drei Geraden sich in einem Pkt schneiden und muss ich noch zeigen, dass dieser Punkt der MP des Umkreises ist? Oder muss ich nur zeigen, dass der Pkt MP des Umkreises ist und kann voraussetzen, dass sich die drei Geraden in einem Pkt schneiden?--Teufelchen 18:23, 17. Jul. 2011 (CEST)

Man muss zeigen, dass sich die Geraden in genau einem Punkt schneiden. Dass dieser Punkt dann der Mittelpunkt des Umkreises ist, ergibt sich dann ganz von selbst.--Tutor Andreas 10:55, 24. Jul. 2011 (CEST)

Und womit kann ich begründen, dass sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden? Woher weiß ich, dass sie zB nicht parallel sind?--Verteidigungswolf 19:31, 25. Jul. 2011 (CEST)

Gehören hier die Mittelsenkrechten auf den Seiten schon zu den Voraussetzungen (kann ich mir also den Teilbeweis ersparen, dass es solche Mittelsenkrechten überhaupt gibt) oder muss ich sie in meinem Beweis noch "errichten"?--WikiNutzer 22:36, 25. Jul. 2011 (CEST)

Hier ein ziemlich langer Beweisversuch:
Voraussetzung: Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen
Behauptung 1: Die Mittelsenkrechten der Seiten schneiden sich in einem einzigen Punkt.
Beweis:
0. Es gibt jeweils eine Mittelsenkrechte pro Seite, nennen wir sie m_a, m_b und m_c, durch die jeweiligen Seitenmittelpunkte M_a usw.. Begründung: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten.
1. m_b und m_c haben genau einen Schnittpunkt, nennen wir ihn S. Begründung: Satz I.2 und die Tatsache, dass m_b und m_c weder identisch noch parallel sind.
dazu 1a: Sie sind wirklich nicht identisch, denn wären sie es, müsste diese eine Gerade an beiden Seitenmittelpunkten M_b und M_c senkrecht auf den Seiten stehen. Dann aber ergäben sich für das Dreieck AM_bM_c zwei rechte Innenwinkel, was nicht geht (dieses eine Korollar(?) vom schwachen Außenwinkelsatz).
und 1b: Sie sind auch wirklich nicht parallel, denn sonst müsste m_b die Seite c auch unter rechtem Winkel schneiden (Stufenwinkelsatz). Und dann gäbe es wieder ein Dreieck (diesmal A - Schnittpunkt von m_b mit c - B), das zwei rechte Winkel hätte, was nicht sein kann.
2. |SC| = |SA| = |SB|. Begründung: S gehört zur Mittelsenkrechten von $\overline {AB}$ und von $\overline {AC}$, und deshalb gilt das Mittelsenkrechtenkriterium.
3. Da |SB| = |SC| (siehe Schritt 2), muss auch S $\in$ m_a sein. Begründung: Wieder Mittelsenkrechtenkriterium.
4. Könnte m_a die anderen beiden Mittelsenkrechten noch in anderen Punkten schneiden? Nein, denn auch hier könnten wir wieder nachweisen, dass m_a zu keiner der beiden anderen parallel (oder gar identisch) ist. Das müsste analog zu Schritt 1a und 1b gehen. Das Hinschreiben spar ich mir.
Damit ist bewiesen, dass sich die Mittelsenkrechten alle in genau einem Punkt schneiden.
Behauptung 2: Dieser Schnittpunkt ist Mittelpunkt des Umkeises.
Beweis:
1. Der Mittelpunkt des Umkreises muss von allen Eckpunkten des Dreieck gleich weit entfernt sein. Begründung: Definition Umkreis und Verhältnis Kreismittelpunkt zu Kreislinie (brauche ich diese Begründung?)
2. Ein solcher Punkt muss also zu den jeweiligen Mittelsenkrechten der Seiten gehören. Begründung: Mittelsenkrechtenkriterium.
3. Es gibt nur einen Punkt, der allen drei Mittelsenkrechten angehört, nämlich S. Begründung: erster Beweisteil.
Damit muss S Mittelpunkt des Umkreises sein, es gibt keinen anderen, der die Anforderungen erfült.
Womit beide Teile der Behauptung bewiesen wären, wenn ich denn richtig liege. Liege ich richtig? (Allerdings bin ich nicht ganz sicher, ob ich auch noch beweisen müsste, dass es den Umkreis überhaupt gibt (und nicht nur seinen Mittelpunkt) und dass es nur einen Kreis bei eindeutigem Mittelpunkt und Radius (also Abstand |SC| o.ä.) geben kann. Brauche ich das auch noch? Über Kreise haben wir uns nicht besonders viele Gedanken gemacht bisher, die haben wir eher als gegeben genommen, oder?)--WikiNutzer 23:52, 25. Jul. 2011 (CEST)