Lösung von Aufgabe 9.4P (SoSe 13)

m sei Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$. Beweisen Sie durch Kontraposition: $\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m$
Tipp: Nutzen Sie den Satz von Pasch und die Dreiecksungleichung.
Hinweis: Die Umkehrung des hier zu beweisenden Satzes sei bereits bewiesen.

Kontraposition lautet: P $\not\in$ m$\Rightarrow$ IAPI$\neq$ IBPI
Wenn P nicht Element m ist, dann sind 2 Fälle zu betrachten. Weil P kann einmal in der Halbebene von m liegen in der B liegt oder P kann in der Halbebene von m liegen in der A liegt.

Voraussetzung	AP|=|BP|, m ist Mittelsenkrechte der Strecke AB|
Behauptung	P ist Element m
Annahme	P ist nicht Element m

Betrachtung: Punkt P liegt in der selben Halbebene von m wie B

Nr.	Beweisschritt	Begründung
1	(Strecke BP geschnitten mit m=leere Menge )	(Def. HE, Annahme)
2	(Strecke AP geschnitten mit m =(R))	(1,)
3	(R ist Element Strecke AP)	(2)
4	(Zw(ARP))	(Def. ZW, 3)
5	IARI + IRPI= IAPI	4
...	...	...
...	...	...
6	StreckeAPI > IStrecke BPI	5

WIEDERSPRUCH ZUR VORAUSSETZUNG. ANNAHME VERWERFEN, BEHAUPTUNG STIMMT.
--Blumenkind 17:49, 4. Jul. 2013 (CEST)BLUMENKIND 17:47, 4.JULI

Ich verstehe Schritt 6 nicht, denn der Abstand BP kommt ja in 5 nicht vor. Da sind noch Zwischenschritte nötig.--Tutorin Anne 14:13, 8. Jul. 2013 (CEST)

• Da ich bei der Betrachtung oben geschrieben habe, dass mein Punkt P in der selben Halbebene von m wie B liegt, ergibt sich nach meiner Konstruktion ein neues "Dreieck" mit APB und ich will ja zeigen, dass die Strecke AP gleich Strecke BP ist. Durch Schritt 4 und 5 sehe ich, dass die Strecke AP kleiner ist als die Strecke BP und dass ist ein Wiederspruch zur Voraussetzung. Ich weis es ist kompliziert, da keine Zeichnung vorliegt. Ich kann irgendwie mein Bild nicht hochladen. Herr Schnirch, hatte uns in der Vorlesung eine Skizze gezeichnet, wo er das Dreieck einfach verlängert hat und wir dadurch 2 Dreiecke hatte. Ich weis aber nicht, wie ich es in Schritten erklären soll;-/---Blumenkind 16:04, 8. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 16:03, 8.Juli
  • Ich habe die Idee schon verstanden und die Skizze kenne ich und habe sie jetzt nochmal zugefügt. Entscheident ist, dass trotzdem nicht so Schritt 6 abgeleitet werden kann. Das was du da über ein Dreieck schreibst, muss auch im Beweis stehen. (Sieh in der Aufgabenstellung bei TIPP).--Tutorin Anne 15:13, 10. Jul. 2013 (CEST)

Nr.	Beweisschritt	Begründung	Skizze dazu
1	IBPI geschnitten mit m = { }	(Def. HE, Annahme)	Müsste es nicht $\ \overline{BP}\ \cap\ m\ = \phi$ heißen? (rein formell) Man schneidet ja Strecken und keine Beträge. --Nolessonlearned 15:27, 15. Jul. 2013 (CEST) Sehr gut! Da habe ich nicht aufgepasst.--Tutorin Anne 13:41, 16. Jul. 2013 (CEST)
2	IAPI geschnitten mit m = (R)	1.)
3	IARI = IBRI	2.), Def. Mittelsenkrechte
4	IRBI < IRPI + IPBI	Dreiecksungleichung
5	IRBI < IARI + IRPI	4.); Rechnen in IR	Hier fehlt (3)--Nolessonlearned 15:17, 15. Jul. 2013 (CEST) Genau!--Tutorin Anne 13:41, 16. Jul. 2013 (CEST)
6	IAPI = IARI + IRPI	Def. Zwischen
7	IAPI > IBPI	5.); 6.); Rechnen in IR
8	IAPI $\neq$ IBPI $\Rightarrow$ P $\not\in$ m	3.); 7.); Def. Mittelsenkrechte	den Schritt darfst du so nicht schreiben, da du die Voraussetzung ja nicht zeigen sollst. Ich meine aber zu verstehen, was du sagen möchtest. Dann besser so:
8	IAPI $\neq$ IBPI	7)
9	$\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m$	1-8 Beweis durch Kontraposition

--Wüstenfuchs 16:49, 14. Jul. 2013 (CEST)

• Sehr gut, Wüstenfuchs. Ich habe Schritt 8 und 9 (rot) hinzugefügt. Denn Schritt 9, den ich vorgeschlagen habe, brauch man nicht zu machen. (Ich meinte nur, dass du so was in der Art schreiben wolltest.)--Tutorin Anne 09:52, 15. Jul. 2013 (CEST)

Voraussetzung:
$\overline{AB}\ =\ \overline{BP}\ mit\ A,B,P\ \in\ E$, $m \ ist\ Mittelsenkrechte\ von\ \overline{AB}$

Behauptung: $P\ \in\ m$

Annahme: $P\ \not\in\ m\ und\ P,B\ \in\ Ebene\ E$

	Beweisschritt	Begründung
1)	$\ \overline{BP}\ \cap\ m\ = \phi$	Annahme
2)	$\ \overline{AP}\ \cap\ m\ =\ \left\{ {R} \right\}$	(1); Def. Halbebene
3)	$\left| AR \right|\ =\ \left| BR \right|$	(2); Mittelsenkrechtenkriterium
4)	$\left| AP \right| \ =\ \left| AR \right|\ +\ \left| RP \right|$	(2); Def. Zwischen
5)	$\left| BP \right|\ <\ \left| BR \right|\ +\ \left| RP \right|$	(3); (4); Dreiecksungleichung
6)	$\left| AP \right|\ >\ \left| BP \right|$	(3); (4); (5)
7)	$\left| AP \right|\ \neq\ \left| BP \right|$	(6); Annahme stimmt

--Nolessonlearned 16:23, 15. Jul. 2013 (CEST)

Annahme ist zu verwerfen. Behauptung stimmt. q.e.d.--Tutorin Anne 13:41, 16. Jul. 2013 (CEST)
Du kannst Schritt 2 auch über Satz von Pasch begründen, musst aber dann bereits 2 Seiten des Dreiecks bezüglich dem Schnitt mit m kennen, bevor du auf die dritte schließen kannst: Du musst dann noch einen Zwischenschritt machen, indem zu einfügst dass AB geschnitten wird von m. Man kann Schritt 2 aber auch über die Definition Halbebene begründen, wenn man in der Annahme noch ergänzt, dass man vom Fall ausgeht, das P mit B in der selben Halbebene bzg. m liegt. --Tutorin Anne 13:41, 16. Jul. 2013 (CEST)