Lösung von Zusatzaufgabe 6.3 S (SoSe 12)

Zusatzaufgabe 6.3

a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten.
b) Warum ist die folgende Definition sinnlos?

Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.

Lösungsversuch 1
a)
1) Wenn zwei verschiedene Geraden g und h weder parallel sind, noch einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen, dann sind sie windschief.
2) Wenn eine Gerade g in einer Ebene E liegt und eine Gerade h diese Ebene E an einem Punkt schneidet, der nicht zu g gehört, dann sind g und h windschief zueinander.

b) Ebenen sind entweder parallel zueinander oder sie schneiden sich.
--Thommy 20:50, 14. Jun. 2012 (CEST)
I

Ich würde bei 2) noch hinzufügen, dass die Gerade h (wie bei 1) ) auch nicht parallel oder identisch zur Geraden g sein darf..
--Tchu Tcha Tcha 22:06, 14. Jun. 2012 (CEST)

Nach Kommentar von Tchu Tcha Tcha:
2) Wenn eine Gerade g in einer Ebene E liegt und eine Gerade h mit dieser Ebene E "genau" einen Punkt gemeinsam hat, der nicht zu g gehört, dann sind g und h windschief zueinander.

Habe ich die die Möglichkeit von $g || h$ nicht dadurch ausgeschlossen, dass g in E liegt, h aber nicht in E liegt bzw. h die Ebene E in genau einem Punkt schneiden muss? Aber deine Anmerkung hat trotzdem zu einer kleinen Abänderung geführt. Dankeschön!
--Thommy 16:12, 15. Jun. 2012 (CEST)
Hmmm, ich habe mir überlegt, dass bei dieser Definition (windschief auf der Menge aller Geraden) 3 Eigenschaften ausgeschlossen sein müssen:

1. Identität (g$\equiv$ h)
2. Parallelität ($g || h$)
3. Schnittpunkt ( $g \cap h$)
   

In deiner 2ten Definition hast Du jetzt durch das "genau einen Punkt gemeinsam" die Identität g=h ausgeschlossen.
Außerdem glaube ich auch, dass die Gerade h die Ebene E in einem Punkt schneiden muss, wenn sie nicht parallel zur Ebene ist.
Schnittpunkt mit g ist auch ausgeschlossen ("..der nicht zu g gehört..")..
Hoffe Du hast recht und die Lösung/Definition passt so ;-)
--Tchu Tcha Tcha 18:20, 15. Jun. 2012 (CEST)

• Die Def. (1) ist wohl die einfachste und die Def. (2) finde ich vom Gedanken her ganz gut. Mich stört nur, dass es heißt, dass g in E liegt und h mit E genau einen Schnittpunkt hat. Jetzt könnte doch sein, dass das für E gilt, es aber eine Ebene E₀₈₁₅ gibt in der g liegt und die mehr als einen Schnittpunkt mit h hat. Ich würde das ganze daher "negativ" formulieren:
  

Eine Gerade h ist windschief zu einer Geraden g, wenn es keine Ebene E gibt, für die gilt:

• $g \subset E \ \wedge \ | \ h \cap E \ | \ \ge \ 2$
  

Das wäre mir jetzt dazu noch eingefallen. --Tutor Andreas 11:52, 12. Jul. 2012 (CEST)