Serie 2 SoSe 2013

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Aufgabe 2.01 SoSe 2013

Ergänzen Sie die Lücken durch Verwendung von

• notwendig aber nicht hinreichend
• hinreichend aber nicht notwendig
• hinreichend
• notwenig
• notwendig und hinreichend.
• weder notwendig noch hinreichend

Sollten mehrere diesbezügliche Auswahlmöglichkeiten bestehen, verwenden Sie die schärfste der möglichen Formulierungen.

1. Dafür, dass $t$ die Summe $a+b$ teilt, ist es ... , dass $t$ sowohl $a$ als auch$b$ teilt. ($t, a, b \in \mathbb{N}$)
2. Dafür, dass $\overline{ABCD}$ ein Rechteck ist, ist es ... , dass $\overline{AC} \perp \overline{BD}$ gilt.
3. Dafür, dass ein Dreieck $\overline{ABC}$ rechtwinklig ist, ist es ... , dass kein Innenwinkel von $\overline{ABC}$ größer als 90° ist.
4. Dafür, dass ein Dreieck $\overline{ABC}$ stumpfwinklig ist, ist es ... , dass ein Innenwinkel von $\overline{ABC}$ größer als 90° ist.
5. Dafür, dass ein Dreieck rechtwinklig ist, ist es ... , dass der Mittelpunkt seines Umkreises der Mittelpunkt einer seiner Seiten ist.
6. Dafür dass ein Viereck ein Rechteck ist, ist es ... , dass alle seine Seiten gleichlang sind.
7. Dafür dass ein Viereck ein Rechteck ist, ist es ... , dass es einen rechten Innenwinkel hat und alle seine Seiten gleichlang sind.

Lösung von Aufgabe 2.01 SoSe 2013 S

Aufgabe 2.02 SoSe 2013

Unter einem Trapez wollen wir ein Viereck verstehe, das ein Paar zueinender paralleler Seiten hat. Es sei $\overline{ABCD}$ ein Trapez. Formulieren Sie

1. eine zwar hinreichende aber nicht notwendige Bedingung dafür, dass $\overline{AC} \tilde= \overline{BD}$ gilt,
2. eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür, dass $\overline{AC} \tilde= \overline{BD}$ gilt,
3. eine notwendige aber nicht hinreichende Bedingung dafür, dass $\overline{AC} \tilde= \overline{BD}$ gilt,
4. ein Kriterium dafür, dass $\overline{AC} \tilde= \overline{BD}$ gilt.

Lösung von Aufgabe 2.02 SoSe 2013 S

Aufgabe 2.03 SoSe 2013

Definieren Sie den Begriff Parallelogramm

1. nur unter Verwendung der Eigenschaften der Seitenlängen von Parallelogrammen,
2. unter Verwendung Semantik der Begriffsbezeichnung,

Lösung von Aufgabe 2.03 SoSe 2013 S

Aufgabe 2.04 SoSe 2013

Sie haben einen Klassensatz Heidelberger Winkelkreuze (Heidelberger_Winkelkreuz). Mit dem Heidelberger Winkelkreuz lassen Sie Ihre Schüler nur Parallelogramme spannen. Danach sollen eine Regel entwickeln, welche Stifte auf den Schenkeln des Kreuzes auszuwählen sind, damit ein Parallelogramm gespannt wird. Sie dürfen davon ausgehen, dass die vier Schenkel des Kreuzes nummeriert sind und alle die Stifte, die denselben Abstand zum Drehpunkt des Kreuzes haben, mit derselben Farbe angestrichen wurden: Rot, Grün, Blau, Gelb (von innen nach außen).

1. Wie könnte diese Regel formuliert sein?
2. Formulieren Sie eine Definition des Begriffs Parallelogramm, der sich unmittelbar aus dieser Regel ergibt.

Lösung von Aufgabe 2.04 SoSe 2013 S

Aufgabe 2.05 SoSe 2013

Aus der Grundschule sei Ihren Schülern der Begriff der Symmetrieachse bekannt.

Mit Ihrer 6. Klasse wollen Sie den Begriff der Mittelsenkrechten einer Strecke erarbeiten. Hierzu lassen Sie die Schüler auf ein Blatt Papier möglichst zentral auf dem Blatt eine beliebige hinreichend lange Strecke $\overline{AB}$ zeichnen.

1. Formulieren Sie einen Arbeitsauftrag für Ihre Schüler der auf die Erarbeitung des Begriffes Mittelsenkrechte hinausläuft.
2. Formulieren Sie eine Definition des Begriffs Mittelsenkrechte unter Verwendung des bereits bekannten Begriffs der Symmetrieachse.

Lösung von Aufgabe 2.05 SoSe 2013 S

Aufgabe 2.06 SoSe 2013

In gewisser Weise lassen sich Definitionen als Handlungsanleitungen zur Generierung von Repräsentanten des zu definierenden Begriffs formulieren. Derartig formulierte Definitionen heißen genetisch operative Definitionen. Formulieren Sie eine genetisch operative Definition des Begriffs Umkreis eines Dreiecks.
Lösung von Aufgabe 2.06 SoSe 2013 S

Aufgabe 2.07 SoSe 2013

Definition

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Ein Viereck heißt konvex, wenn es keinen überstumpfen Innenwinkel hat

Formulieren Sie ein Diagonalenkriterium für konvexe Vierecke. (Ein Beweis der Korrektheit Ihres Kriteriums ist nicht gefordert.)
Lösung von Aufgabe 2.07 SoSe 2013 S

Aufgabe 2.08 SoSe 2013

Was wurde mit der folgenden Menge $S$ definiert?
Es sei $s \in \mathbb{R}, s>0$ und $M$ ein beliebiger Punkt. $S:=\left\{P||PM|<s\right\}$.
Lösung von Aufgabe 2.08 SoSe 2013 S

Aufgabe 2.09 SoSe 2013

Es seien $M$ und $N$ zwei Mengen. Definieren Sie:

1. $M \cup N$ und
2. $M \cap N$

Lösung von Aufgabe 2.09 SoSe 2013 S

Aufgabe 2.10 SoSe 2013

Ein Drehellipsoid erhält man, wenn man eine Ellipse um die Gerade, die durch ihre beiden Brennpunkte $F_1$ und $F_2$ eindeutig bestimmt ist, rotieren lässt. Ergänzen Sie:

Definition

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Drehellipsoid:
Es seien $F_1$ und $F_2$ zwei Punkte. Ferner sei a eine positive reelle Zahl. Unter einem Drehellipsoid versteht man die Menge aller Punkte $P$, mit ...

Lösung von Aufgabe 2.10 SoSe 2013 S