Version vom 22. Januar 2012, 14:59 Uhr

Das Gast-Wiki im Geo-Wiki: Didaktik der anwendungsbezogenen Mathematik

Ideensammlung

• Auf dem Königsstuhl in Heidelberg

• Proportionalität am Menschen

• Spezifische Wärmekapazität von Wasser

• Windrad

• Riesenrad

• Stauaufgabe

Funktionales Denken

Schaubilder

• Aufgaben

Lineare Funktionen

• Beispielaufgaben

Proportionalität

• Größenbereiche
• Definition der Proportionalität
• Die Eigenschaften der Proportionalität nach Fricke
• Beispiele für Proportionale Zusammenhänge

Quadratische Zusammenhänge

• Wurfparabel

• Klippenspringer

• Schwimmbad

• Solarkocher

• Glas auf drehender Scheibe

Was ist, was soll Sachrechnen

Sachrechnen

Folien vom 18.11. als PDF (mit Office 2010 hat es dann doch geklappt.) Sachrechnen

Def. Sachrechnen (aus Greefrath. 2010. S. 12)
"Sachrechnen im weiteren Sinne bezeichnet die Auseinandersetzung mit der Umwelt, sowie die Beschäftigung mit wirklichkeitsbezogenen Aufgaben im Mathematikunterricht."
--Löwenzahn 16:24, 27. Nov. 2011 (CET)

Funktionen des Sachrechnens nach Winter

Sachrechnen als Lernstoff

Die mathematischen Inhalte des Sachrechnens stehen im Vordergrund. Greefrath setzt vorallem den Schwerpunkt auf die Inhalte der Größen, des Prozent- und Zinsrechnens. Allerdings ist der Inhalt stark davon abhängig wie der Mathematikunterricht gestaltet wird. Das Wichtige dabei ist, dass ein realitätsbezogener Kontext vorliegt. (Vgl. Greefrath. 2010. S. 13)
--Löwenzahn 16:31, 27. Nov. 2011 (CET)

Vermittlung von Größenvorstellungen

Längen

Stützpunktvorstellung:

• 1cm: Nagel kleiner Finger / zwei Rechenkästchen im Heft
• 20 cm: Handspanne
• 100 m: Länge Fussballfeld

SuS selbst messen lassen, entweder mit Metermaß oder vergleichbarer Einheit, zB Rechenkästchen im Heft:

• Bleistift
• Klassenzimmer (lang)
• Mäppchen

Flächeninhalte

Stützpunktvorstellung:

• 1a: Familienwohnung
• 1km²: Industrieareal
• 1m²: Tafel

SuS selbst messen lassen:

• Wie groß ist der Basketballplatz der Schule?
• SuS schätzen 10m² Fläche und legen diese mit einem Seil als Begrenzung.

Volumina

Zeit

Stützpunktvorstellung:

• 1s = zählen 21,22,23...
• 45 min = eine Schulstunde / Halbzeit Fußball

SuS selbst messen lassen:

• Zeit abschätzen lassen: Wann sind 10 Sekunden, 20... vergangen?

Massen

• 1oog: Tafel schokolade

• 1kg: Packung Mehl / zwei Senfgläser

• 10kg: Eimer Wasser

Gewichte

Sützpunktvorstellungen

• Tafel Schokolade
• Flasche 1l Wasser

SuS selbst messen lassen

• verschieden starke Federkraftmesser verwenden --> Mäppchen messen

Frage:Wenn sich (freiwillige)SuS mittels analoger Personenwaage wiegen würde, gehört das dann zum Gewicht oder zur Masse?--Löwenzahn 13:23, 15. Dez. 2011 (CET)

Wir hatten ja gesagt, dass die selbe Personenwaage auf dem Mond zum Beispiel eine andere Gewichtskraft als auf der Erde anzeigt. Deshalb müsste die Waage also korrekterweise als Gewichtskraftmesser beszeichnet werden. Das Bestimmen einer Masse ist nur durch Vergleich mit bekannten Massestücken auf einer echten Waage möglich.--Prayush 21:12, 15. Dez. 2011 (CET)

Geschwindigkeiten

Stützpunktvorstellung

• Geschwindigkeit eines Autos in der Stadt (50km/h)
• Geschwindigkeit einer Kugel in Öl

SuS selbst messen lassen

• Geschwindkeitsmessung einer Kugel im Rohr
• Wie schnell rennt ein SuS 100m, 50m...?
• Wie lange brauchen die SuS für den Nachhauseweg?

Dichten

Stützpunktvorstellung

• Bernstein schwimmt im Meerwasser, Stein sinkt
• Holz treibt auf dem Wasser

SuS messen lassen

• Welche Dichte besitzt ein beliebiger Stein? --> Gewicht/Volumen (kg/m³) Überlaufmethode: Wieviel Wasser wird verdrängt = Volumen
• Messgeräte verwenden: Aräometer, Pyknometer

Informationen

(Byte, GB,

Stützpunktvorstellung

• maximale Anzahl an MP3 (Bilder, Filme..) Dateien auf USB-Stick, CD, Festplatte...

SuS selbst entdecken lassen

• Wie viele 1GB USB-Sticks kann ich durch eine Terabyte Festplatte ersetzen?
• SuS brennen maximale Anzahl an MP3s auf eine CD, DCD, Blueray
• Wie viele bits stecken hinter einem Byte?

Sachrechnen als Lernprinzip

Wird Sachrechnen unter dem Aspekt des Lernprinzipes betrachtet, "so werden Sachsituationen beispielsweise zur Motivation, Veranschaulichung oder zur Übung mathematischer Lernprozesse genutzt. Hier steht die Arbeit der SuS im Vordergrund, die mathematische Inhalte mit Hilfe von realen oder wirklichkeitsnahen Situationen lernen." (Greefrath, 2010, S. 13) --Löwenzahn 13:07, 3. Jan. 2012 (CET)

Sachrechnen als Lernziel

Die Beschäftigung mit der Umwelt selbst wird als Lernziel betrachtet. Dies ist die allgemeinste Funktion des Sachrechnens. Die "Sache und nicht das Rechnen [steht] im Mittelpunkt des Lernprozesses". Durch mathematische Mittel und Methoden soll die Umwelt verstanden und erklärt werden. "Das Ziel des Sachrechnens ist unter diesem Aspekt die Befähigung zur Wahrnehmung und zum Verstehen von Erscheinungen unserer Welt." (Greefrath, 2010,S. 15)--Löwenzahn 13:14, 3. Jan. 2012 (CET)

Komplexität von Sachrechenaufgaben

Simplex

Unter einem Simplex versteht man eine Struktur vom folgenden Typ:

Zwei Eingabedaten wird durch deren Verknüpfung mittels einer Rechenoperation ein Ausgabedatum zugeordnet.

Komplex

Unter einem Komplex versteht man die Verkettung mehrerer Simplexe. Man unterscheidet linerare und verzweigte Komplexe.

linearer Komplex

Verzweigter Komplex

Modellierung

Realsituation

Wieviel m Kabel passt auf die Trommel?

Realmodell

Schätzung:

Lauter Kreise Modell

mathematisches Modell

Kalkulationstabelle

Ist der Umfang eines Kreises der ersten Lage nicht 6,60m statt 6,30m? Nach meiner Berechnung ist 2 * pi * 1,05=6,60m! Ebenso wäre demnach die Kabellänge auf der ersten Lage ca. 132 m. Demnach wäre aber die ganze Kalkulationstabelle falsch!?! --Libertad 18:44, 3. Jan. 2012 (CET)

Formel

Validierung des mathematischen Modells

• Sind die Kabel wirklich so gewickelt? Gibt es eine andere Wickelmethode?
• Ist das Ergebnis logisch? Kann es der Realität entsprechen?
• Da es sich um Schätzungen handelt, ist das Ergebnis nicht auf den Meter genau!--Löwenzahn 13:54, 10. Jan. 2012 (CET)
  

Übungsaufgaben

Modellierung

• Rübenlaster
• Parabel_Brücke_Transporter

Körperberechnung

Köln-Triangle

Alte Klausuren und Probeklausuren

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Hätte jemand Lösungsvorschläge zur Aufgabe 1b) und d) der Klausur? Auch nach mehrstündigem Nachdenken sind leider nur große ??? in meine Kopf ;-) --Libertad 18:39, 3. Jan. 2012 (CET)

Übungsaufgaben im Hinblick auf die Klausur

Bahnfahren

"Sehr geehrte Damen und Herren, wir begrüßen die neu zugestiegenen Fahrgäste im ICE 617 auf unserer Fahrt von Frankfurt am Main Flughafen nach Stuttgart Hauptbahnhof. Bitte beachten Sie in Stuttgart, dass unser neues Bahnhofsprojekt dort bereits für viel Lärm gesorgt hat und verhalten Sie sich beim Verlassen des Zuges leise.
Leider müssen wir Ihnen mitteilen, dass wir aufgrund einer Verzögerung im Betriebsablauf eine Verspätung von fünf Minuten haben und der vor uns liegende Streckenabschnitt noch durch einen vorausfahrenden Zug belegt ist. Wir werden unsere Fahrt in Kürze fortsetzen.
Leider ist die Strecke nach Mannheim durch einen Gleisschaden im Moment nicht befahrbar. Daher werden wir eine alternative Route wählen. Diese führt uns über Mainz nach Mannheim. Wie sie sicherlich bemerkt haben, pfeifft unser ICE 1 bereits jetzt aus dem letzten Loch und aus diesem Grunde können wir über Mainz auch nicht schneller nach Mannheim fahren als wie direkt von Frankfurt am Main Flughafen aus.
Da wir uns in den nächsten Jahren mit neuen 'ICx'-Zügen ausstatten, bitten wir die Unannehmlichkeiten zu entschuldigen und als Entschädigung dürfen Sie sich ein Teil des ICE mit nach Hause nehmen. Wer das Gefühl hat, dass er seinen Anschlusszug nicht erreicht, darf sich die Lok des Zuges mitnehmen und damit nach Hause fahren. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und gute Nacht!"

Muss der Passagier mit der folgenden Fahrkarte alleine mit der Lok nach Hause fahren?


--Flo60 20:46, 2. Jan. 2012 (CET)

Didaktische Überlegung 'Bahnfahren' (Bitte die Diskussionsseite beachten)

Welche Schwierigkeiten ergeben sich bei dieser Aufgabe für den Schüler? --Löwenzahn 13:49, 10. Jan. 2012 (CET)

Über den Wolken… oder doch am Flughafen in Soizburg

Das folgende Video zeigt den Start der VP-BGX, eine Boeing 747-300 der russischen Transaero, am Flughafen Salzburg (SZG) auf den Rückflug nach Moskau DME.

Auf einem alten Kühlschrank stehend (Zitat eines österreichischen Flugzeugfreundes am Flughafen: „Friara isa do drent im Woid gstandn, jetzt ligda do, jetzt erfüllda wenigstens an bissl an Zweck!“ Stimmt, da hatte er wohl nicht ganz unrecht; fraglich ist nur, ob er als KÜHLSCHRANK nicht irgendwann im Laufe seines Lebens (das Leben des Kühlschranks, versteht sich) doch einmal das ein oder andere Stiegl gekühlt hat!) wurde das Video des startenden Flugzeugs ja praktisch unter Lebensgefahr gedreht.

Der Standpunkt des Kamerateams war der folgende: 47.8013278976, 12.9956080712
(Diese können so bei GoogleEarth bzw. GoogleMaps eingegeben werden - aus Urheberschutzgründen verzichte ich auf einen Screenshot).

Folgende Frage stellt sich: Wie viele Passagiere befanden sich an Bord der Maschine, als sie zurück nach Moskau am SZG abhob?

Da der russische Wintercharterflugverkehr in Salzburg sehr stark frequentiert ist, gehen wir davon aus, dass die Maschine vollbesetzt am SZG ankam.

Folgende Bilder können zum Lösen der Aufgabe behilflich sein, zusätzlich nötige Informationen finden sich im Internet.


Die VP-BGX im Landeanflug auf den SZG.


Die VP-BGX kurz vor dem Aufsetzen auf der Start- und Landebahn des SZG.


Die VP-BGX auf dem Vorfeld des SZG.
--Flo60 20:45, 8. Jan. 2012 (CET)

Didaktische Überlegungen 'Über den Wolken… oder doch am Flughafen in Soizburg' (Bitte die Diskussionsseite beachten)

Welche Schwierigkeiten ergeben sich bei dieser Aufgabe für den Schüler? --Löwenzahn 13:49, 10. Jan. 2012 (CET)

Funktionales Denken

• Benenne die drei wesentlichen Aspekte des funktionalen Denkens.

Erkläre in diesem Zusammenhag die Begriffe „dynamischer“ sowie „statischer“ Funktionsbegriff. Welche Vor- und Nachteile ergeben sich jeweils für den Unterricht?
Zuordnungsaspekt, Änderungsaspekt, Funktion als Ganzes
Der dynamische Funktionsbegriff beschreibt die Zuordnung der Wertepaare und den Zusammenhang der Wertepaare für die Funktion anschaulich und nicht so abstrakt. Die SuS können eine Ideevorstellung entwickeln. Die Funktion kann am Besten mit einem Sachbezug anschaulich dargestellt werden. Pro: Verständnis wird aufgebaut, interessanter, anschaulicher -> mehr Sinne. Contra: arbeitsaufwändiger
Der statische Funktionsbegriff beschreibt die reine Zuordnung zweier Werte der Teilmenge aus dem Kreuzprodukt zweier nicht leerer Mengen. Die Wertepaare werden einzelnen betrachtet. Pro: "einfaches" kalkülmäßiges abarbeiten. Contra: kein Verständnis der Sache, abstrakt--Löwenzahn 13:03, 21. Jan. 2012 (CET)

• „Wenn eine Größe größer wird, so wird auch die andere größer(kleiner).“ „Wenn sich eine Größe verdoppelt, so verdoppelt sich auch die andere.“

Welche elementaren funktionellen Vorstellungen werden hier beschrieben?
Bei der ersten Aussage wird die Monotonie beschrieben. Bei der zweiten wird ebenfalls die Monotonie aber auch der Vielfachungsaspekt beschrieben.--Zeqiraj 16:04, 21. Jan. 2012 (CET)

• Formuliere die Grundeigenschaften von Proportionalität und Antiproportionalität.

Proportionalität: f(a·x)=a·f(x)
Antiproportionalität: f(a·x)=1/a·f(x)--Löwenzahn 14:59, 22. Jan. 2012 (CET)

• Warum erweist sich die Schülervorstellung „Wenn sich eine Größe vergrößert, vergrößert sich auch die zweite Größe.“ als problematisch im Zusammenhang mit proportionalen Zuordnungen?
  

Nur weil die oben beschriebene Vorstellung auf eine Funktion zutrifft, bedeutet es nicht, dass es sich auch um eine proportionale Zuordnung handelt. Der Zusammenhang „Wenn sich eine Größe vergrößert, vergrößert sich auch die zweite Größe.“ ist notwendig, aber nicht hinreichend für Proportionalität--Löwenzahn 13:06, 21. Jan. 2012 (CET)
Wie könnten zwei konkrete Beispiele aussehen, um der Fehlvorstellung entgegen zu wirken?
Antwort:
1) Eine Parabel. Fükr eine Parabel ist die Schülervorstellung erfüllt allerdings hat sie nichts mit Proportionalität zu tun.
2) Eine Gerade mit der Gleichung: f(x)=x+1. Für diese Gerade ist die Schülervorstellung ebenfalls erfüllt, allerdings verläuft sie nicht durch den Ursprung und ist demnach nicht proportional.--Zeqiraj 16:04, 21. Jan. 2012 (CET)

• Du möchtest das Thema lineare Funktionen didaktisch anschaulich im Unterricht einführen. Nenne Beispiele!

• Warum sind Temperaturen kein Größenbereich nach der mathematischen Definition?

Temperaturen in °C gemessen sind kein Größenbereich, weil das Lösbarkeitsgesetz nicht erfüllt ist. Dieses besagt, dass a + x = b genau dann lösbar ist, wenn a < b. Für 7°C + x = 5°C (x = -2°C) ist das aber nicht der Fall denn 7 > 5.
Dieses Problem tritt nicht auf, wenn man Temperaturen in Kelvin angibt.--Zeqiraj 16:04, 21. Jan. 2012 (CET)

• Was hzat Proportionalität mit der Idee des Messens zu tun?

Proportionalität

Aufgaben zu Tabellen (s.u.):

1. Formuliere eine Aufgabe zu den unten stehenden Tabellen für deine Schüler.

Znächst sind die Aufgaben relativ frei zu wählen. Je nach Schülerstärke und Kenntnisstand und diesbezüglich was ich erreichen möchte. Ich kann demnach viele verschiedenen Aufgabentypen wählen. Diese wären zum Beispiel:

1. Welche Aspekte des Proportionalitätsbegriffes kommen in den folgenden Tabellen zum Tragen? Erläutere anhand der Tabelle.
2. Erläutere folgende Aussage: "Nicht jeder monotone Zusammenhang ist auch proportional!"

Nur weil ein Zusammenhang proportional ist, dann heißt das noch nicht, dass er proporitonal ist. Beispiel sei eine Parabel. Wenn man sich die Werte anschaut, sieht man leicht, dass z. B. der Abstandsaspekt oder die Multiplikatiivität oder die Additivität zutreffend ist.

--Löwenzahn 16:41, 13. Jan. 2012 (CET)

• Lösungsvorschlag

Sachrechnen

• Welche Funktion (Winter) erfüllt folgende Aufgabe in besonderem Maße?

"Lara überlegt, welchen Tarif sie wählen soll. Sie telefoniert etwa eine Stunde am Wochenende, eine halbe Stunde zur Hauptzeit und eine halbe Stunde zur Nebenzeit."

• Was kennzeichnet Fermiaufgaben im Besonderen Maße?

Warum sind Fermiaufgaben aus didaktischer Sicht „gute Aufgaben“? Welche Kompetenzen können durch Fermiaufgaben erlernt werden? Erstelle eine Fermiaufgabe, in der es um Verhältnisse von Längen und Volumina geht.

• Wie lassen sich Sachrechenaufgaben unterteilen?

• Welcher Funktionen erfüllt Sachrechnen (Winter)?

• Erstelle eine Textaufgabe zum Thema Fläche, die auf eine quadratische Funktionen hinausläuft.

• Folgende Aufgabe ergibt auch unter Akademikern immer wieder Denkfehler. Wo liegt die Schwierigkeit? Vereinfache die Aufgabe.

"An einer Uni unterrichten P Professoren S Studenten. Auf einen Professor kommen 30 Studenten."

Lösungvorschlag Sachrechnen