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<ggb_applet width="1150" height="576"  version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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[[Übung 13.05.11]]
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[[Punkte, Geraden, Ebenen]]
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[[Memory]]<br />
  
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<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/MemoryProjekt03.swf" width="1000" height="400" frameborder="2"></iframe>  
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[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_17]]<br />
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[[TÜ_27_04_18]]<br />
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[[TÜ_04_05_18]]<br />
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[[TÜ Algebra 01]]
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[[TÜ021118]]
  
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<br /><br />
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[[ Übung 00 ]]<br />
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[[Pasch]]
+
  
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[[HDV]]
+
[[dreielementige Gruppe]]
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[[Schreibumgebung]]<br />
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[[Elementare Funktionen]]<br />
  
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[[Spiegelung_00]]
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[[Didaktik der Bruchrechnung]]<br />
  
−
== Axiome von Moise/Downs ==
+
[[Allgemeiner Teil]]<br />
  
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* Inzidenzaxiome:
+
[[Indoorcycling gegen Prüfungsangst]]
 +
[[2013]]
 +
[[Quiz_Definition_1]]
  
−
=====Axiom I.0:=====
+
[[Quiz_Definition_2]]
−
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
+
  
−
=====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
+
[[Quiz_Definition_3]]
−
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
+
  
−
=====Axiom I.2:=====
+
[[Ellipse]]
−
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
+
[[Schreibtest_mg]]
 +
[[Sommersemester_2012]]<br />
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[[Test]] <br />
 +
[[Zwischenspeicher]]
 +
[[TKS]]
 +
[[Vorlage Aufgabe]]
 +
=Aufgaben zum Abstand=
  
−
=====Axiom I.3:=====
+
==Aufgabe 5.1==
−
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
+
<u>'''Satz:'''</u>
 +
::Es seien <math>A,B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte.<br />
 +
::Wenn der Punkt <math>B</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>C</math> liegt, dann liegt weder <math>A</math> zwischen <math>B</math> und <math>C</math> noch <math>C</math> zwischen <math>A</math> und <math>B</math>.
 +
Beweisen Sie diesen Satz.
  
−
=====Axiom I.4:=====
+
<br />
−
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
+
[[Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)]]
  
−
=====Axiom I.5:=====
+
==Aufgabe 5.2==
−
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.
+
Es seien <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> vier paarweise verschiedene Punkte. <br />
 +
Beweisen Sie:<br />
 +
<math>\overline{CD} \subset \overline{AB} \Rightarrow \forall P \in \overline{CD}: \operatorname{Zw}(APB}</math>.
  
−
=====Axiom I.6:=====
 
−
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
 
  
−
=====Axiom I.7:=====
 
−
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
 
  
−
* Abstandsaxiome:
+
<br /><br />
 +
[[Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)]]
  
−
===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
+
==Aufgabe 5.3==
−
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.
+
Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt:<br />
 +
Wenn <math> C \in \ AB^{+} </math> und <math>\left| AB \right| < \left| AC \right| </math> dann gilt <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math>  
  
−
===== Axiom II.2: =====
+
<br />
−
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
+
[[Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)]]
  
−
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
 
−
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>
 
  
−
:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
+
==Aufgabe 5.4==
 +
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AC} </math> auf <math>\ AB^{+} </math> mit <math>\left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right| </math> und <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math>  <math>\overline{AC} </math>
 +
<br />
  
−
:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
+
<br /><br />
−
:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
+
[[Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)]]
−
:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
+
−
:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
+
−
 
+
−
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
+
−
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.
+
−
 
+
−
===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
+
−
:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.
+
−
 
+
−
==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
+
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::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.
+
−
 
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−
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
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:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl  <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>
+
−
 
+
−
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
+
−
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
+
−
 
+
−
==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
+
−
::Nebenwinkel sind supplementär.
+
−
 
+
−
==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
+
−
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen
+
−
 
+
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:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
+
−
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
+
−
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
+
−
::gelten,<br />
+
−
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.
+
  
−
==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
+
=Weitere Aufgabe zur Inzidenz=
−
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
+
  
  
−
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== Aufgabe 5.5 ==
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Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).<br /><br />
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[[Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)]]<br />
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Aktuelle Version vom 11. April 2025, 07:44 Uhr

alt Schreibtest

Memory

Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_17
TÜ_27_04_18
TÜ_04_05_18
TÜ Algebra 01 TÜ021118

Übung 00

dreielementige Gruppe Schreibumgebung
Elementare Funktionen

Didaktik der Bruchrechnung

Allgemeiner Teil

Indoorcycling gegen Prüfungsangst 2013 Quiz_Definition_1

Quiz_Definition_2

Quiz_Definition_3

Ellipse Schreibtest_mg Sommersemester_2012
Test
Zwischenspeicher TKS Vorlage Aufgabe

Inhaltsverzeichnis

 [Verbergen] 

Aufgaben zum Abstand

Aufgabe 5.1

Satz:

Es seien A,B und C drei paarweise verschiedene Punkte.
Wenn der Punkt B zwischen den Punkten A und C liegt, dann liegt weder A zwischen B und C noch C zwischen A und B.

Beweisen Sie diesen Satz.


Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)

Aufgabe 5.2

Es seien A, B, C und D vier paarweise verschiedene Punkte.
Beweisen Sie:
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \overline{CD} \subset \overline{AB} \Rightarrow \forall P \in \overline{CD}: \operatorname{Zw}(APB} .




Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)

Aufgabe 5.3

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte \ A, B und \ C gilt:
Wenn C \in \ AB^{+} und \left| AB \right| < \left| AC \right| dann gilt \operatorname Zw (A, B, C)


Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)


Aufgabe 5.4

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke \overline{AB} existiert genau eine Strecke \overline{AC} auf \ AB^{+} mit \left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right| und \overline{AB} \subset \overline{AC}



Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)

Weitere Aufgabe zur Inzidenz

Aufgabe 5.5

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).

Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)

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