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(→‎Definition IV.1: (offene Halbebene))
 
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= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
 
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== Halbebenen ==
 
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=== Analogiebetrachtungen ===
 
  
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[[Ablage]]<br />
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| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
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| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>
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[[Memory]]<br />
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[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_17]]<br />
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|}
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[[TÜ_27_04_18]]<br />
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{|class="wikitable center"
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[[TÜ_04_05_18]]<br />
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|-
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[[TÜ Algebra 01]]
−
| colspan="2"  style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center>
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[[TÜ021118]]
  
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|-
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[[ Übung 00 ]]<br />
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| <math>\ G</math> ist eine ...
+
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| <math>\ G</math> ist eine ...
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|-
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[[dreielementige Gruppe]]
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| colspan="2"  style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center>
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[[Schreibumgebung]]<br />
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[[Elementare Funktionen]]<br />
  
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[[Didaktik der Bruchrechnung]]<br />
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|  Dimension von
+
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|  Dimension von
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[[Allgemeiner Teil]]<br />
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| colspan="2"  style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center>
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|-
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[[Indoorcycling gegen Prüfungsangst]]
−
|  <math>\ T</math> ist ...
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[[2013]]
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|  <math>\ T</math> ist ...
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[[Quiz_Definition_1]]
  
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|-
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[[Quiz_Definition_2]]
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| colspan="2"  style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center>
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[[Quiz_Definition_3]]
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| <math>\ T</math> hat die Dimension ...
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|  <math>\ T</math> hat die Dimension ...
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|-
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[[Ellipse]]
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| colspan="2"  style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center>
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[[Schreibtest_mg]]
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[[Sommersemester_2012]]<br />
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[[Test]] <br />
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[[Zwischenspeicher]]
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[[TKS]]
 +
[[Vorlage Aufgabe]]
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=Aufgaben zum Abstand=
  
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|-
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==Aufgabe 5.1==
−
| colspan="2"  |
+
<u>'''Satz:'''</u>
−
<center>Klasse 1: </center>
+
::Es seien <math>A,B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte.<br />
−
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center>
+
::Wenn der Punkt <math>B</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>C</math> liegt, dann liegt weder <math>A</math> zwischen <math>B</math> und <math>C</math> noch <math>C</math> zwischen <math>A</math> und <math>B</math>.
 +
Beweisen Sie diesen Satz.
  
−
|-
+
<br />
−
| <math>\ AQ^{+} = \{P| ... \}</math>
+
[[Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)]]
−
| <math>\ gQ^{+} = \{P| ... \}</math>
+
  
−
|-
+
==Aufgabe 5.2==
−
| colspan="2"  |
+
Es seien <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> vier paarweise verschiedene Punkte. <br />  
−
<center>Klasse 2:</center>
+
Beweisen Sie:<br />
−
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center>
+
<math>\overline{CD} \subset \overline{AB} \Rightarrow \forall P \in \overline{CD}: \operatorname{Zw}(APB)</math>.
  
−
|-
 
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|  <math>\ AQ^{-} = \{P| ... \}</math>
 
−
|  <math>\ gQ^{-} = \{P| ... \}</math>
 
  
−
|}
 
  
−
=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
+
<br /><br />
−
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
+
[[Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)]]
−
{|
+
−
|-
+
−
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene  <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
+
−
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
+
−
|-
+
−
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
+
−
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
+
−
|}
+
−
==== Offene Halbebenen ====
+
−
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.
+
  
−
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was es denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.
+
==Aufgabe 5.3==
 +
Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt:<br />
 +
Wenn <math> C \in \ AB^{+} </math> und <math>\left| AB \right| < \left| AC \right| </math> dann gilt <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math>  
  
−
===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
+
<br />
−
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math>  gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> der Ebene <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
+
[[Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)]]
  
−
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| ... \}</math>
 
  
−
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| ... \}</math>
+
==Aufgabe 5.4==
 +
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AC} </math> auf <math>\ AB^{+} </math> mit <math>\left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right| </math> und <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math>  <math>\overline{AC} </math>
 +
<br />
 +
 
 +
<br /><br />
 +
[[Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)]]
 +
 
 +
=Weitere Aufgabe zur Inzidenz=
 +
 
 +
 
 +
== Aufgabe 5.5 ==
 +
Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).<br /><br />
 +
[[Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)]]<br />
 +
<br />

Aktuelle Version vom 28. April 2025, 19:52 Uhr

Ablage

Memory

Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_17
TÜ_27_04_18
TÜ_04_05_18
TÜ Algebra 01 TÜ021118

Übung 00

dreielementige Gruppe Schreibumgebung
Elementare Funktionen

Didaktik der Bruchrechnung

Allgemeiner Teil

Indoorcycling gegen Prüfungsangst 2013 Quiz_Definition_1

Quiz_Definition_2

Quiz_Definition_3

Ellipse Schreibtest_mg Sommersemester_2012
Test
Zwischenspeicher TKS Vorlage Aufgabe

Inhaltsverzeichnis

Aufgaben zum Abstand

Aufgabe 5.1

Satz:

Es seien A,B und C drei paarweise verschiedene Punkte.
Wenn der Punkt B zwischen den Punkten A und C liegt, dann liegt weder A zwischen B und C noch C zwischen A und B.

Beweisen Sie diesen Satz.


Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)

Aufgabe 5.2

Es seien A, B, C und D vier paarweise verschiedene Punkte.
Beweisen Sie:
\overline{CD} \subset \overline{AB} \Rightarrow \forall P \in \overline{CD}: \operatorname{Zw}(APB).




Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)

Aufgabe 5.3

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte \ A, B und \ C gilt:
Wenn C \in \ AB^{+} und \left| AB \right| < \left| AC \right| dann gilt \operatorname Zw (A, B, C)


Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)


Aufgabe 5.4

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke \overline{AB} existiert genau eine Strecke \overline{AC} auf \ AB^{+} mit \left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right| und \overline{AB} \subset \overline{AC}



Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)

Weitere Aufgabe zur Inzidenz

Aufgabe 5.5

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).

Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)

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