Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. Juli 2010, 09:06 Uhr

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

Inhaltsverzeichnis

1 Grundbegriffe (undefinierte Begriffe)
2 Begriffsklärungen
- 2.1 Klasseneinteilung
- 2.2 Relationen
3 Axiome
4 Definitionen
5 Sätze

Grundbegriffe (undefinierte Begriffe)

Punkt
Gerade
Ebene

Begriffsklärungen

disjunkt - elementfremd, nicht gleich
identitiv - antisymmetrisch, gleich
(z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung
(z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen
(z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste
Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch
auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"

Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen.
Beispiel: Definition:(disjunkt)
Zwei Mengen $\ A$ und $\ B$ sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:

Nichtfolgerbarkeit einer Aussage $\ a$ aus einer Menge $\ A$ von Axiomen

Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage $\ a$ aus einer Menge $\ A$ von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von $\ a$ aus $\ A$ scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für $\ A$ . In jedem Modell für $\ A$ müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus $\ A$ abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für $\ A$ finden, in dem $\ a$ nicht gilt ...

Modell für eine Menge von Axiomen

...

*m.g.* 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

Klasseneinteilung

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$ .

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$ , wenn gilt:

notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $M$ .

Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Relationen

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$ stellige Relation.

Definition: (Äquivalenzrelation)

Eine Relation $\ R$ in einer Menge $\ M$ heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Axiome

Inzidenzaxiome:

Axiom I.0:

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

Axiom I.2:

Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

Axiom I.3:

Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I.4:

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I.5:

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I.6:

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I.7:

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Abstandsaxiome:

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $\ d$ mit $d=0:\Longleftrightarrow A=B$ .

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $\ A$ und $\ B$ gilt $\left| AB \right| = \left| BA \right|$ .

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Falls $\operatorname{koll} \left( ABC \right)$ , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $\ A$ , $\ B$ und $\ C$ kollinear.

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $\ d$ gibt es auf jedem Strahl $\ p$ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $\ p$ den Abstand $\ d$ hat.

Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch)

Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$ . Ferner sei $\ g$ eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte $\ A, B, C$ geht. Wenn $\ g$ eine der drei Seiten des Dreiecks $\overline{ABC}$ schneidet, dann schneidet $\ g$ genau eine weitere Seite des Dreiecks $\overline{ABC}$ .

Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $\ \alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\ \omega$ zwischen 0 und 180.

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $\ g \equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $\ \Epsilon$ . Zu jeder reellen Zahl $\ \omega$ mit $\ 0 < \omega < 180$ gibt es in jeder der beiden durch $\ g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $\ \Epsilon$ genau einen Strahl $\ SB^+$ mit $\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|$

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 3 Kongruenzen

$\overline{AB} \cong \overline{DE}$
$\overline{AC} \cong \overline{DF}$
$\angle CAB \cong \angle FDE$

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Euklidisches Parallelenaxiom

Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es höchstens eine Gerade $\ h$ , die durch $\ P$ geht und zu $\ g$ parallel ist.

Definitionen

Definition des Begriffs der Relation:

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$ stellige Relation.

Definition: (Äquivalenzrelation)

Eine Relation $\ R$ in einer Menge $\ M$ heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Definition I.2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)

Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I.5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I.6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Definition I.7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I.8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I.9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I.10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E₁ und E₂ sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d = \left| AB \right|$ .

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die $\ A$ und $\ B$ sowie alle Punkte, die zwischen $\ A$ und $\ B$ liegen, enthält, heißt Strecke $\overline{AB}$ .

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Der Abstand $\vert AB \vert$ heißt Länge der Strecke $\overline{AB}$ .

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Lösung_von_Aufgabe_6.5

Eine informelle Definition:

Definition: Halbgerade $AB^+$

Gegeben seien zwei verschiedene Punkte $\ A$ und $\ B$ . Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden $\ AB^+$ versteht man die Strecke $\overline{AB}$ vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man $\overline{AB}$ über $\ B$ hinaus verlängert.

Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade $\ AB^+$ .

Definition: Halbgerade $AB^+$

$AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}$

diese Lösung ist richtig!--Schnirch 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)

Lösung_von_Aufgabe_6.6

Gegeben seien zwei nicht identische Punkte $\ A$ und $\ B$ . Unter $\ AB^-$ wollen wir die Menge aller Punkte $\ P$ verstehen, die man erhält, wenn man $\overline{A B}$ über $\ A$ hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte $\ P$ an.

Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

$AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}$

diese Lösung ist richtig! --Schnirch 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $\ M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $\ A$ und $\ B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ .

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$ , der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Punktmengen:

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus g$

muss es nicht heißen: $\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$ \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder? --Frühling 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

Nein, da 1. oben schon gesagt wurde, dass P nicht auf g liegen soll und 2. gäbe es somit auch keinen Schnittpunkt S. Also sind alle Punkte ausgeschlossen, die auf g liegen.

Das ist falsch, Schafi. Es gäbe sehr wohl einen Schnittpunkt, denn auch die Endpunkte gehören zur Strecke. Frühling hat (bis auf Schreibfehler in der Formel) vollkommen recht. Ich hab's mal geändert. Bin mir mit der Schreibweise aber auch nicht überall sicher.

--Sternchen 20:28, 22. Jul. 2010 (UTC) Ja, ich denke, das stimmt doch. Vielleicht heißt es: "für alle Punkte P nicht Element g"...

Definition IV.2: (Halbebene)

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \Epsilon$ . $\ gQ^+$ und $\ gQ^-$ seien die beiden offenen Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ . Unter den (geschlossenen) Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ mit jeweils dieser Geraden $\ g$ entstehen.

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: $\ g Q^+$ , (geschlossene) Halbebene: $\ g Q^+$ . Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass $\ g Q^+$ bzw. $\ g Q^-$ immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.

--*m.g.* 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --Rakorium 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)

Eine Menge $\ M$ von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ dieser Menge die gesamte Strecke $\overline{AB}$ zu $\ M$ gehört.

Definition V.1: (Winkel)

Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.

Definition V.2: (Inneres eines Winkels)

Das Innere eines Winkels $\angle ASB$ ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen $\ SA,B^+$ und $\ SB,A^+$

Definition V.3: (Scheitelwinkel)

Die Winkel $\angle SA^+,SB^+$ und $\angle SA^-,SB^-$ sind Scheitelwinkel.

Definition V.4: (Nebenwinkel)

Die Winkel $\angle SA^+,SB^+$ und $\angle SA^-,SB^+$ sind Nebenwinkel.

Definition V.5: (Größe eines Winkels)

Die Zahl $\ \omega$ , die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $\ \alpha$ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $\ \alpha$ genannt.
In Zeichen: $\omega = \left| \alpha \right|$ .

Definition V.6 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.7 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

Es seien $\ g$ und $\ h$ zwei Geraden. Wenn sich $\ g$ und $\ h$ schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden $\ g$ und $\ h$ senkrecht aufeinader.

In Zeichen: $\ g \perp \ h$ (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht)

Eine Gerade $\ g$ und eine Strecke $\overline{AB}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die $\ g$ und die Gerade $\ AB$ senkrecht aufeinander stehen.

Ergänzen Sie:

Eine Strecke $\ \overline{AB}$ und eine Strecke $\ \overline{CD}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --Maude001 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

Eine Gerade $\ g$ und eine Ebene $\epsilon$ stehen senkrecht aufeinander, wenn es in $\epsilon$ ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in $\epsilon$ liegen und auf die $g$ senkrecht steht. --Löwenzahn 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)

Es sei $\ m$ eine Gerade und $\overline{AB}$ eine Strecke, die durch $\ m$ im Punkt $\ M$ geschnitten wird. $\ m$ ist die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ , wenn

$m \perp AB$
$\left| AM \right| = \left| MB \right|$

Definition VI.2

Es seien $\ p$ , $\ w$ und $\ q$ drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt $\ S$ . Die Halbgerade $\ w$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $\angle pq$ , wenn $\ w$ im Inneren von $\angle pq$ liegt und die beiden Winkel $\angle pw$ und $\angle wq$ dieselbe Größe haben.

Definition VII.1: (Streckenkongruenz)

Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.

In Zeichen $\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|$

Definition VII.2 : (Winkelkongruenz)

Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.

In Zeichen: $\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |$

Definition VII.3: (Dreieckskongruenz)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 6 Kongruenzen

$\overline{AB} \cong \overline{DE}$
$\overline{BC} \cong \overline{EF}$
$\overline{AC} \cong \overline{DF}$
$\angle CAB \cong \angle FDE$
$\angle ABC \cong \angle DEF$
$\angle ACB \cong \angle DFE$

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)

as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übung 11 Aufgabe 1

Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

--Rakorium 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)

Definition VIII.1: Außenwinkel eines Dreiecks

Alle Nebenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks $\overline{ABC}$ heißen Außenwinkel des Dreiecks. ---mogli- 15:20, 17. Jul. 2010 (UTC)

Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)

Es sei P ein Punkt, der nicht zur Geraden g gehören möge. Die Gerade l, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht heißt Lotgerade von P auf g. Der Schnittpunkt L von l mit g, heißt Lotfußpunkt des Lotes von P auf g. Unter dem Lot von P auf g, versteht man die Strecke $\overline{PL}$ . ---mogli- 15:19, 17. Jul. 2010 (UTC)

Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)

Es sei P ein Punkt außerhalb von g. Der Abstand von P zu g ist die Länge des Lotes $\overline{PL}$ von P auf g. ---mogli- 15:24, 17. Jul. 2010 (UTC)

Sätze

Satz I.1:

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)

Es seien g und h zwei Geraden.

Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)

Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

Satz I.4: (Minimales Modell für die Inzidenzaxiome der ebenen Geometrie)

Jedes Modell für die ebenen Inzidenzaxiome besteht aus wenigstens 3 Punkten und 3 Geraden.

Satz I.5:

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6:

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7:

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Satz II.1:

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{Zw} \left( C, B, A \right)$ .

Satz II.2:

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ .

Satz II.3:

Es sei $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ mit $\ A, B, C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( A, C, B \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( B, A, C \right)$ .

Satz II.4:

Es sei $\ O$ ein Punkt einer Geraden $\ g$ .
Die Teilmengen $\ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}$ , $\left\{ O \right\}$ und $\ OA^- \setminus \left\{ O \right\}$ bilden eine Klasseneinteilung der Geraden $\ g$ .

Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit)

Wenn $\ Q_2$ ein Punkt der Halbebene $\ {gQ_1}^{+}$ ist, dann gilt $\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}$ und $\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}$ .

Satz IV.2:

Halbebenen sind konvexe Punktmengen

Satz IV.3:

Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Satz V.1:

Das Innere eines Winkels ist konvex.

Satz V.2:

Wenn der Punkt $\ P$ im Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ und nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\ \angle ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\ \angle ASP$ und $\ \angle PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\ \angle ASB$ .

Satz V.3: (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Satz V.4:

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Satz V.5: ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt)

Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

oder

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \Epsilon$ . Ferner sei $\ P$ ein Punkt auf $\ g$ . In der Ebene $\ \Epsilon$ gibt es genau eine Gerade $\ s$ , die durch $\ P$ geht und senkrecht auf $\ g$ steht.

Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)

Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Satz VI. $1 \frac{1}{2}$ :

Es sei $\ SW^+$ die Winkelhalbierende des Winkels $\angle ASB$ . Dann gilt $| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |$ .

Satz VI.2: (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)

Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

Satz VII.1:

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.2:

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.3:

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 3 Kongruenzen

$\overline{AB} \cong \overline{DE}$
$\angle CAB \cong \angle FDE$
$\angle ABC \cong \angle DEF$

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Satz VII.5: (Basiswinkelsatz)

In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

Lemma 1:

Die Winkelhalbierende $\ SW^+$ eines Winkels $\ \angle ASB$ schneidet die Strecke $\overline{AB}$ in genau einem Punkt $\ P$ .

Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)

Eine Menge $\ M$ von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke $\ \overline{AB}$ , wenn für jeden Punkt $\ P \in\ M$ gilt: $\overline{AP} \cong \overline{BP}$ .

Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gehört.)

Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ .

Satz VII.6 b: (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gehört)

Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand.

Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz)

Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

Lemma 2:

Wenn ein Punkt $\ P$ im Inneren des Winkels $\angle ASB$ liegt, dann liegt der gesamte Strahl $\ SP^+$ im Inneren des Winkels $\angle ASB$ .

Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)

Zu jedem Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es genau ein Lot von P auf g. ---mogli- 15:26, 17. Jul. 2010 (UTC)

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-Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung)entstehen. Bitte ergänzen Sie!
+Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!
-== Grundbegriffe ==
+== Grundbegriffe (undefinierte Begriffe) ==
+* Punkt
+* Gerade
+* Ebene
+== Begriffsklärungen ==
+* disjunkt - elementfremd, nicht gleich
+* identitiv - antisymmetrisch, gleich<br />(z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
+* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung<br />(z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
+* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
+* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
+* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
+* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen<br />(z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
+* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste<br />Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch<br />auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
-* Element A
+"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
-* Element B
+: Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen.<br />Beispiel: Definition:(disjunkt)<br />Zwei Mengen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.
-* Element Cdisjunkt - elementfremd
-* Element A
+: Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
-* Element B
+# Nichtfolgerbarkeit einer Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen
-* Element Cidentitiv - Asymmetrie
+::Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von <math>\ a</math> aus <math>\ A</math> scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für <math>\ A</math>.  In jedem Modell für <math>\ A</math> müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus <math>\ A</math> abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für <math>\ A</math> finden, in dem <math>\ a</math> nicht gilt ...
-kollinear - es gibt eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
+# Modell für eine Menge von Axiomen
-komplanar -
+: ...<br />
-reflexiv -
+[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)
-symmetrisch -
-transitiv -
+=== Klasseneinteilung ===
+:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
+:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
+:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
+:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
+:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
+::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.
+=== Relationen ===
+<u>Definition: (n-stellige Relation)</u>
+:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus  <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times  M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.<br />
+<u>Definition: (Äquivalenzrelation)</u>
+:Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
 == Axiome ==
 * Inzidenzaxiome:
+=====Axiom I.0:=====
+:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
+=====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
+:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
+=====Axiom I.2:=====
+:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
+=====Axiom I.3:=====
+:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
+=====Axiom I.4:=====
+:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
+=====Axiom I.5:=====
+:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.
+=====Axiom I.6:=====
+:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
+=====Axiom I.7:=====
+:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
 * Abstandsaxiome:
+===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
+:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.
+===== Axiom II.2: =====
+:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
+===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
+:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>
+:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
+:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
+:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
+:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
+:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
+===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
+:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.
+===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
+:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.
+==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
+::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.
+==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
+:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl  <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>
+==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
+::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
+==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
+::Nebenwinkel sind supplementär.
+==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
+::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen
+:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
+:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
+:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
+::gelten,<br />
+::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.
+==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
+::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
 == Definitionen ==
+===== Definition des Begriffs der Relation: =====
+:<u>Definition: (n-stellige Relation)</u>
+::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus  <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times  M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.
+:<u>Definition: (Äquivalenzrelation)</u>
+::Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
+=====Definition I.2: (kollinear)=====
+:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
+:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''
+=====Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
+:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.
+=====Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
+:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.
+=====Definition I.5: (Raum)=====
+:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
+=====Definition I.6: (komplanar)=====
+:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
+=====Definition I.7: (komplanar für Geraden)=====
+:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
+:Schreibweise: komp(g, h)
+=====Definition I.8: (Geradenparallelität)=====
+:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
+:In Zeichen: ''g''||''h''.
+=====Definition I.9: (windschief )=====
+:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
+=====Definition I.10: (parallel für Ebenen)=====
+:Zwei Ebene ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
+===== Definition II.1: (Abstand) =====
+:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.
+===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
+:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
+:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>
+===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
+:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält,  heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.
+===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
+:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
+===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
+:[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]
+::Eine informelle Definition:
+::<u>Definition: Halbgerade <math>AB^+</math></u>
+::::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.
+::Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.
+<br />
+::<u>Definition: Halbgerade <math>AB^+</math></u>
+:::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>
+::diese Lösung ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)
+:[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]
+::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{A B}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.
+::Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:
+::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>
+::diese Lösung ist richtig! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)
+===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
+:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
+===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
+:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math>  gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
+::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
+::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus g</math>
+[[Bild:Dozenten.jpg]]
+muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g
+da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
+--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)
+Nein, da 1. oben schon gesagt wurde, dass P nicht auf g liegen soll und 2. gäbe es somit auch keinen Schnittpunkt S. Also sind alle Punkte ausgeschlossen, die auf g liegen.
+:Das ist falsch, [[Benutzer:Schafi|Schafi]]. Es gäbe sehr wohl einen Schnittpunkt, denn auch die Endpunkte gehören zur Strecke. [[Benutzer:Frühling|Frühling]] hat (bis auf Schreibfehler in der Formel) vollkommen recht. Ich hab's mal geändert. Bin mir mit der Schreibweise aber auch nicht überall sicher.
+:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:28, 22. Jul. 2010 (UTC) Ja, ich denke, das stimmt doch. Vielleicht heißt es: "für alle Punkte P nicht Element g"...
+===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
+::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup  \{g\}</math>
+::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
+[[Bild:Dozenten.jpg]]
+::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich  <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von  <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.
+::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup  \{g\}</math>
+::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
+::Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
+::--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)
+Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)
+=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
+::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.
+===== Definition V.1: (Winkel)=====
+:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.
+oder
+:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.
+===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
+::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>
+===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
+::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.
+===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
+::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.
+===== Definition V.5: (Größe eines Winkels) =====
+:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder  das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.<br />In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.
+===== Definition V.6 : (Rechter Winkel) =====
+::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.
+===== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) =====
+:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.
+===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
+:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.
+:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)
+===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
+:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen.<br />
+Ergänzen Sie:
+:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)
+::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die <math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)
+===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
+::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn
+::# <math>m \perp AB</math>
+::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
+===== Definition VI.2 =====
+:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von  <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.
+===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
+:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.<br />
+:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>
+===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
+::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.<br />
+::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>
+===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
+::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden  6 Kongruenzen
+:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
+:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
+:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
+:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
+:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
+:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
+::gelten,<br />
+:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math>  kongruent zueinander.
+===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
+as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.
+[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]
+Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.
+--[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)
+==== Definition VIII.1: Außenwinkel eines Dreiecks ====
+Alle Nebenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks.
+--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:20, 17. Jul. 2010 (UTC)
+=== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===
+Es sei P ein Punkt, der nicht zur Geraden g gehören möge.
+Die Gerade l, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht heißt Lotgerade von P auf g. Der Schnittpunkt L von l mit g, heißt Lotfußpunkt des Lotes von P auf g. Unter dem Lot von P auf g, versteht man die Strecke <math>\overline{PL}</math>.
+--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:19, 17. Jul. 2010 (UTC)
+=== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===
+Es sei P ein Punkt außerhalb von g. Der Abstand von P zu g ist die Länge des Lotes <math>\overline{PL}</math> von P auf g.
+--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:24, 17. Jul. 2010 (UTC)
 == Sätze ==
+=====Satz I.1:=====
+:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
+=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
+:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
+:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.
+===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
+:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
+<br />
+===== Satz I.4: (Minimales Modell für die Inzidenzaxiome der ebenen Geometrie) =====
+::Jedes Modell für die ebenen Inzidenzaxiome besteht aus wenigstens 3 Punkten und 3 Geraden.
+=====Satz I.5:=====
+:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
+=====Satz I.6:=====
+:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
+=====Satz I.7:=====
+:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
+===== Satz II.1: =====
+:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.
+===== Satz II.2: =====
+:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.
+===== Satz II.3: =====
+:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.
+===== Satz II.4: =====
+:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. <br />Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.
+===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
+:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.
+===== Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit) =====
+: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.
+===== Satz IV.2: =====
+:Halbebenen sind konvexe Punktmengen
+===== Satz IV.3: =====
+:Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
+===== Satz V.1: =====
+: Das Innere eines Winkels ist konvex.
+==== Satz V.2: ====
+:Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.
+==== Satz V.3: (Existenz von rechten Winkeln) ====
+:Es gibt rechte Winkel.
+==== Satz V.4: ====
+:Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.
+==== Satz V.5:  ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt) ====
+:Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.
+oder
+: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.
+==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
+: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.
+==== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math>: ====
+:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.
+==== Satz VI.2: (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)====
+::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.
+==== Satz VII.1:  ====
+:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.
+==== Satz VII.2:  ====
+:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.
+==== Satz VII.3:  ====
+:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.
+==== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) ====
+::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden  3 Kongruenzen
+:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
+:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
+:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
+::gelten,<br />
+:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math>  kongruent zueinander.
+==== Satz VII.5: (Basiswinkelsatz) ====
+::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
+==== Lemma 1: ====
+::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.
+==== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) ====
+::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.
+==== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) ====
+::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.
+==== Satz VII.6 b: (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)====
+::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.
+==== Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz) ====
+::Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.
+==== Lemma 2: ====
+::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann liegt der gesamte Strahl <math>\ SP^+</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math>.
+==== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) ====
+Zu jedem Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es genau ein Lot von P auf g.
+--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:26, 17. Jul. 2010 (UTC)