Serie 1 Gruppendefinition SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: „<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;"> {|width=90%| style="backgro…“)
 
(→‎Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017)
 
(13 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 4: Zeile 4:
 
=Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017=
 
=Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017=
 
Formulieren Sie die Definition des Begriffs Gruppe unter Verwendung des Begriffs Halbgruppe.
 
Formulieren Sie die Definition des Begriffs Gruppe unter Verwendung des Begriffs Halbgruppe.
 +
 +
[[Lösung von Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017]]
  
 
=Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016=
 
=Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016=
−
<math>D:=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}</math>  
+
<math>D:=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}</math>, <br />
 +
<math>\forall n \in \mathbb{N} : D^n := \underbrace{D \cdot D \cdot  \ldots \cdot D}_{n mal}</math>, <br />
 +
<math>M:=\left\{D^i|1 \leq i \leq 8 \right\} </math>. <br />
 +
Beweisen Sie: <math>\left[ M, \cdot \right ]</math> ist eine Gruppe.<br />
  
−
=Aufgabe 1.2. Algebra SoSe 2017=
+
[[Lösung von Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016]]
 +
 
 +
[[TEST Aufgabe 1.2]]
 +
 
 +
=Aufgabe 1.3. Algebra SoSe 2017=
 
Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente. Es gibt (bis auf Isomorphie) genau 2 Gruppen der Ordnung 4. Die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.
 
Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente. Es gibt (bis auf Isomorphie) genau 2 Gruppen der Ordnung 4. Die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.
 
# Geben Sie für jede der beiden Gruppen zwei Beispiele an.
 
# Geben Sie für jede der beiden Gruppen zwei Beispiele an.
−
# Definieren Sie was man unter der Klein'schen Vierergruppe  
+
# Definieren Sie was man unter der Klein'schen Vierergruppe versteht.
 +
# Definieren Sie die andere der beiden Vierergruppen.
 +
[[Lösung von Aufgabe 1.3 SoSe 2017]]
 +
 
 +
=Aufgabe 1.4 Algebra SoSe 2017=
 +
Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleichheit gibt es keine weitere Gruppe der Ordnung 4 als die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.
 +
 
 +
=Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017=
 +
Beweisen Sie: In jeder Gruppe gilt: Das Linksinverse Element eines Gruppenelements <math>g</math> ist gleich dem Rechtsinversen von <math>g</math>.<br />
 +
 
 +
[[Lösung von Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017]]
 +
 
 +
=Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017=
 +
Beweisen Sie: Wenn in einer Gruppe <math>G</math> das Element <math>e</math> linksneutral ist, dann ist <math>e</math> in <math>G</math> auch rechtsneutral.
 +
 
 +
[[Lösung von Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017]]
 +
 
 +
=Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017=
 +
Beweisen Sie: In jeder Gruppe gibt es genau ein neutrales bzw. Einselement.
 +
 
 +
[[Lösung von Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017]]
 +
 
 +
=Aufgabe 1.8 Algebra SoSe 2017=
 +
Beweisen Sie: In jeder Gruppe hat jedes Element genau ein inverses Element.
 +
 
 +
=Aufgabe 1.9 Algebra SoSe 2017=
 +
Beweisen Sie: <br />
 +
Wenn <math>\mathbb{G}:=[G, \odot]</math> eine Gruppe ist, dann ist <math>\mathbb{G}</math> ein Monoid, in dem die Gleichung <math>a \odot x = b</math> für alle <math>a,b \in G</math> immer lösbar ist.
 +
=Aufgabe 1.10 Algebra SoSe 2017=
 +
Beweisen Sie: Wenn <math>\mathbb{G}:=[G, \odot]</math> ein Monoid ist, in dem die Gleichung <math>a \odot x = b</math> für alle <math>a,b \in G</math> immer lösbar ist, dann ist <math>\mathbb{G}</math> eine Gruppe.
  
 
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
 
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->

Aktuelle Version vom 16. Mai 2017, 11:25 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017

Formulieren Sie die Definition des Begriffs Gruppe unter Verwendung des Begriffs Halbgruppe.

Lösung von Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017

Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016

D:=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix},
\forall n \in \mathbb{N} : D^n := \underbrace{D \cdot D \cdot \ldots \cdot D}_{n mal},
M:=\left\{D^i|1 \leq i \leq 8 \right\} .
Beweisen Sie: \left[ M, \cdot \right ] ist eine Gruppe.

Lösung von Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016

TEST Aufgabe 1.2

Aufgabe 1.3. Algebra SoSe 2017

Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente. Es gibt (bis auf Isomorphie) genau 2 Gruppen der Ordnung 4. Die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.

  1. Geben Sie für jede der beiden Gruppen zwei Beispiele an.
  2. Definieren Sie was man unter der Klein'schen Vierergruppe versteht.
  3. Definieren Sie die andere der beiden Vierergruppen.

Lösung von Aufgabe 1.3 SoSe 2017

Aufgabe 1.4 Algebra SoSe 2017

Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleichheit gibt es keine weitere Gruppe der Ordnung 4 als die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.

Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017

Beweisen Sie: In jeder Gruppe gilt: Das Linksinverse Element eines Gruppenelements g ist gleich dem Rechtsinversen von g.

Lösung von Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017

Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017

Beweisen Sie: Wenn in einer Gruppe G das Element e linksneutral ist, dann ist e in G auch rechtsneutral.

Lösung von Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017

Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017

Beweisen Sie: In jeder Gruppe gibt es genau ein neutrales bzw. Einselement.

Lösung von Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017

Aufgabe 1.8 Algebra SoSe 2017

Beweisen Sie: In jeder Gruppe hat jedes Element genau ein inverses Element.

Aufgabe 1.9 Algebra SoSe 2017

Beweisen Sie:
Wenn \mathbb{G}:=[G, \odot] eine Gruppe ist, dann ist \mathbb{G} ein Monoid, in dem die Gleichung a \odot x = b für alle a,b \in G immer lösbar ist.

Aufgabe 1.10 Algebra SoSe 2017

Beweisen Sie: Wenn \mathbb{G}:=[G, \odot] ein Monoid ist, in dem die Gleichung a \odot x = b für alle a,b \in G immer lösbar ist, dann ist \mathbb{G} eine Gruppe.

Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Serie_1_Gruppendefinition_SoSe_2017&oldid=29767“