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− | == Axiome von Moise/Downs ==
| + | [[alt]] |
| + | [[Schreibtest]]<br /> |
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− | * Inzidenzaxiome:
| + | [[Memory]]<br /> |
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− | =====Axiom I.0:=====
| + | [[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_17]]<br /> |
− | :Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
| + | [[TÜ_27_04_18]]<br /> |
| + | [[TÜ_04_05_18]]<br /> |
| + | [[TÜ Algebra 01]] |
| + | [[TÜ021118]] |
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− | =====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
| + | [[ Übung 00 ]]<br /> |
− | :Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
| + | |
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− | =====Axiom I.2:=====
| + | [[dreielementige Gruppe]] |
− | :Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
| + | [[Schreibumgebung]]<br /> |
| + | [[Elementare Funktionen]]<br /> |
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− | =====Axiom I.3:=====
| + | [[Didaktik der Bruchrechnung]]<br /> |
− | :Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
| + | |
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− | =====Axiom I.4:=====
| + | [[Allgemeiner Teil]]<br /> |
− | :Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
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− | =====Axiom I.5:=====
| + | [[Indoorcycling gegen Prüfungsangst]] |
− | :Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.
| + | [[2013]] |
| + | [[Quiz_Definition_1]] |
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− | =====Axiom I.6:=====
| + | [[Quiz_Definition_2]] |
− | :Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
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− | =====Axiom I.7:=====
| + | [[Quiz_Definition_3]] |
− | :Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
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− | * Abstandsaxiome:
| + | [[Ellipse]] |
| + | [[Schreibtest_mg]] |
| + | [[Sommersemester_2012]]<br /> |
| + | [[Test]] <br /> |
| + | [[Zwischenspeicher]] |
| + | [[TKS]] |
| + | [[Vorlage Aufgabe]] |
| + | =Aufgaben zum Abstand= |
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− | ===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) ===== | + | ==Aufgabe 5.1== |
− | :Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>. | + | <u>'''Satz:'''</u> |
| + | ::Es seien <math>A,B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte.<br /> |
| + | ::Wenn der Punkt <math>B</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>C</math> liegt, dann liegt weder <math>A</math> zwischen <math>B</math> und <math>C</math> noch <math>C</math> zwischen <math>A</math> und <math>B</math>. |
| + | Beweisen Sie diesen Satz. |
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− | ===== Axiom II.2: =====
| + | <br /> |
− | :Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
| + | [[Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)]] |
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− | ===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) ===== | + | ==Aufgabe 5.2== |
− | :Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>
| + | Es seien <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> vier paarweise verschiedene Punkte. <br /> |
| + | Beweisen Sie:<br /> |
| + | <math>\overline{CD} \subset \overline{AB} \Rightarrow \forall P \in \overline{CD}: \operatorname{Zw}(APB}</math>. |
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− | :Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
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− | :::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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− | :::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
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− | :::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
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− | :Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
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− | ===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
| + | <br /><br /> |
− | :Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.
| + | [[Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)]] |
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− | ===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) ===== | + | ==Aufgabe 5.3== |
− | :Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.
| + | Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt:<br /> |
| + | Wenn <math> C \in \ AB^{+} </math> und <math>\left| AB \right| < \left| AC \right| </math> dann gilt <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> |
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− | ==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
| + | <br /> |
− | ::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.
| + | [[Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)]] |
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− | ==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
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− | :: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>
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− | ==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)==== | + | ==Aufgabe 5.4== |
− | ::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>. | + | Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AC} </math> auf <math>\ AB^{+} </math> mit <math>\left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right| </math> und <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math> |
| + | <br /> |
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− | ==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
| + | <br /><br /> |
− | ::Nebenwinkel sind supplementär.
| + | [[Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)]] |
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− | ==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ==== | + | =Weitere Aufgabe zur Inzidenz= |
− | ::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen
| + | |
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− | :::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
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− | :::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
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− | :::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
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− | ::gelten,<br />
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− | ::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.
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− | ==== Euklidisches Parallelenaxiom ==== | + | == Aufgabe 5.5 == |
− | ::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist. | + | Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).<br /><br /> |
− | | + | [[Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)]]<br /> |
− | | + | <br /> |
− | <ggb_applet width="645" height="623" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAHFVZD0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vjdcus0EL7mPIXGF9zVteSfOEPSM2m5oDOBwuRwmOFOthVHVLaMLadJXoaH4cVYSXb+2pMmLQMMvXG1u17tfvvtSs7o46oQaMnqhsty7GDXcxArU5nxMh87rZpfxc7Hmw+jnMmcJTVFc1kXVI0d3yWOlrf85sNXo2YhnxAVxuQzZ09jZ05FwxzUVDWjWbNgTB3IabvigtN6/ZD8xlLV7BTWyX1ZtbCLqluQpUU25U2/vDYbVoKrb/mSZ6xGQqZjJwohdPjvM6sVT6kYO4FnJWTskCMliHytXciab2SptPnO+RwkCDV8wwARomWja5PoiLWp4BmnpU7GxAFGCD3xTC0ghCAEl4znC4g1xAPrLZWyzmbrRrECrX5ltRw7Vz4xSK/tEgeeXjUQGOwYmsV6f2X8sOWMKQV1aRBdsR1iec2zg8V9cyvFTlRJXqo7Wqm2NkX1O9FMrfUGsFetI56UuWCdjADmC5Y+JnI1syj41vWndWVeMQEl+Z0Uska1xhcyz7tnYp/GRke6tfKMjWcsOh/a6VaPh8RYmGdin8ZK8NKG1mWO+6yx12/DG6QFGkbg4jZ5QRMGtXVQW3I17RfAgccuVWxf+KEtEmiCfRZsfeK/y+fo+og/o0dWl0xYlpRQ21a2DVpqNtq9TCAZS3kBS6voIKG6XD9DAFaasbxmfeC2hSxgRuvtM/FIPLrug9AxNBBrqmAWQD5K5zKrOMuZaMtcN62Chhk7hZu7DsqoAr2jHT/J+tH0+Ce2UogmcgkaSFGgWUX//AOKyYQG8DsqhES/MKHMzkywgkGrKcMqQ8otuj8627kizYjoh0Gn39UJ1C8yzHCRimpBQdI3kaBrGBj7oBh/38vsECpaAuQGB+jbSjvQRa0Yy7ohqbpOQBW4NH21VzEDdINWYyd2feDyGloeQogdtLGvGyvbhXqAmJ39jiIWlFfg+en/AU/gxhYe7EbRZeiksihomaGSFrDTFCaEgYTrgwNRTzMIUayRsjC0qldQ66pz8AxoPWy2OFLncP6oBbR5yZrGDEm1Pw7fUwzv7FI8zOcNUxq7cGiJ1Y/alyu1w/oKu4PAvuK7oQU7cPEwio+H7Ikk2e+ltWnsqOMFHMQpV5dwd/If5u7ZzMXYJR2aoSb826n7UMNUzWVJxQsknlgS02ckTi4gcXIGifGrLN6D4f00PsFTQ871lq8A7FUQux7c5nZ/0TmUxRdy9rAs96WCwxtgOKpI8qWKTE9X5LAHpm/qgSgwYOtHYh8XT42rqAMXn1cNuIO5cUCC/hjzfXfoefGuFLZEOHTJYBC9hf93vE7FMe+nFuXJM5TT0yjDFYanWxTTM4hP/mXinxcdfFSwcgmxybpBaOV1x+zaszuiTS9ZYXvXAB3uRBu8N5tg9NV8hSa9/aS3mhBdxcCNvEHgh77nDwdBANf+id9tMQk0bYgbERJGXoRxhAMfzqBJCGG6BMfDeEAGYRDHZDh4ufNgyqZ8ztO3dV5qOZE848RtR5avaSWbby5pw9tX2vALpX9zH55qtHccKCdP2w6Vf3TenMozcD0vxAQT4hMSD7oLoOeGEfFIGARDj/iBN8CXQXC9//FiPti7Xyxu/gJQSwcIaVCnm7IEAADjEAAAUEsBAhQAFAAIAAgAcVVkPWlQp5uyBAAA4xAAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAADsBAAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" /> | + | |