Drehungen 2010: Unterschied zwischen den Versionen

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| Trage die Strecke<math>\overline{ZP}</math> auf <math>\ ZQ+ </math> an <math> \ Z</math> ab und nenne den Punkt <math>\ P'</math>ab.
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| Trage die Strecke<math>\overline{ZP}</math> auf <math>\ ZQ+ </math> an <math> \ Z</math> ab und nenne den Punkt <math>\ P'</math>.
 
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== Konstruktionsbeschreibung 2: ==
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1. Zeichne einen Kreis k<sub>1</sub> mit Radius <math>\overline {ZP}</math> um den Mittelpunkt Z.<br />
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2. Zeichne einen Kreis mit Radius <math>\overline {ZP}</math> um den Mittelpunkt S (Scheitelpunkt des Winkels <math>\alpha</math> ). Nenne die Schnittpunkte R und Q.<br />
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3. Zeichne einen Kreis k<sub>2</sub> mit Radius <math>\overline {RQ}</math> um den Mittelpunkt P.<br />
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4. Die Kreise k<sub>1</sub> und k<sub>2</sub> haben zwei Schnittpunkte. Nenne sie P<sub>1</sub>' und P<sub>2</sub>'. Zeichne die Strahlen ZP<sub>1</sub>'<sup>+</sup>, ZP<sup>+</sup> und ZP<sub>2</sub>'<sup>+</sup>. Je nach <u>Drehrichtung</u> des Winkels <math>\alpha</math>, ist P<sub>1</sub>' bzw. P<sub>2</sub>' der Bildpunkt von P.<br /> <span style="color: color">--morita 11:13, 15. Nov. 2010 (UTC)</span>
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== Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> ==
 
== Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> ==
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<math>\forall P  \in</math> der Ebene gilt:
 
<math>\forall P  \in</math> der Ebene gilt:
 
# <math> \ P = P'</math> , falls <math>\ P = \ Z</math>  
 
# <math> \ P = P'</math> , falls <math>\ P = \ Z</math>  
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# <math>|\overline{ZP}| = |\overline{ZP'}|</math> und |<math>\angle \ PZP'</math>| = <math>\ |\alpha|</math>, falls <math>\ P \not = Z</math>--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:38, 11. Nov. 2010 (UTC)
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# <math>|\ ZP| = |\ ZP'|</math> und |<math>\angle \ PZP'</math>| = <math>\ |\alpha|</math>, falls <math>\ P \not = Z</math><br />--[[Benutzer:Tja???|Tja???]],[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 22:44, 11. Nov. 2010 (UTC)
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Bei 2. würde ich <math>|ZP|=|ZP'|</math> oder <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math> benutzen.
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--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 22:44, 11. Nov. 2010 (UTC)
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==== Definition verstanden?====
 
==== Definition verstanden?====
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+ (h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ L</math> ist <math>\ O</math>, das Bild von <math>\ O</math> ist <math>\ R</math>, das Bild von <math>\ R</math> ist <math>\ U</math>, ..., das Bild von <math>\ F</math> ist <math>\ I</math>
 
+ (h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ L</math> ist <math>\ O</math>, das Bild von <math>\ O</math> ist <math>\ R</math>, das Bild von <math>\ R</math> ist <math>\ U</math>, ..., das Bild von <math>\ F</math> ist <math>\ I</math>
 
</quiz>
 
</quiz>
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== 2 Sätze und der dazugehörige Beweis==
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Ich habe mal zwei Beweise angefertigt und stelle sie an dieser Stelle allen zur Verfügung um darüber zu diskutieren. Gibt es Fehler in der Logik, der Schreibweise oder bei den Begründungen? Ich bin mir eben nicht ganz sicher :)
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== Satz: Jede Drehung <math>D_{Z,\beta}</math> ist eine Bewegung. ==
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==Beweis==
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Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel <math>\beta</math><br />
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Behauptung: |PQ|=|P'Q'|
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{| class="wikitable "
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! Beweisschritt
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! Begründung
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| 1) <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
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| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
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| 2) <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
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| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
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| 3) <math>\angle {PZP'} \cong \angle {QZQ'}</math>
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| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
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| 4) <math>|\alpha'|=|\beta'|+|\alpha - \beta|</math><br />
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<math>|\alpha'|= |\alpha|</math><br />
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| rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da <math>\beta = \angle {PZP'} </math> und <math> \beta' = \angle {QZQ'}</math>
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| 5) <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
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| folgt aus den Schritten 1-4, sws
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| 6) <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
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| folgt aus Schritt 5
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| 7) <math>|PQ|=|P'Q'|</math>
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| folgt aus Schritt 6, q.e.d
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|}
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--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)
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==Satz: Wenn eine Bewegung <math>\phi</math> genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist <math>\phi</math> eine Drehung um den Fixpunkt Z.==
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==Beweis==
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Voraussetzung: <math>\phi </math> ist eine Bewegung, <math>\phi </math> hat genau eine Fixpunkt Z<br />
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Behauptung: <math>\beta \cong \beta'</math>
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{| class="wikitable "
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! Beweisschritt
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! Begründung
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|-
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| 1. <math>P \ne P', Q \ne Q'</math>
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| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
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| 2. <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
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| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
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|-
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| 3. <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
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| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
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|-
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| 4. <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
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| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
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|-
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| 5. <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
 +
| sss, folgt aus den Schritten 2-4
 +
|-
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| 6. <math>\alpha \cong \alpha'</math><br /> <math>|\alpha|= |\alpha'|</math>
 +
| folgt aus Schritt 5
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|-
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| 7.<math>|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|</math><br /> <math>|\beta'|=|\beta|</math><br /> <math> \beta' \cong \beta</math>
 +
| rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6
 +
|}<br />--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)
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[[Category:Elementargeometrie]]

Aktuelle Version vom 20. November 2010, 01:02 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Konstruktion des Bildes eines Punktes P bei einer Drehung um Z mit dem Drehwinkel \alpha

Konstruktionsbeschreibung

Es seien \ Z und \ P zwei Punkte der Ebene. Ferner sei \ \alpha ein gerichteter Winkel.

Das Bild von \ P bei einer Drehung um \ Z wird wie folgt konstruiert:

Fall 1: \ P \equiv Z ,dann ist \ P \equiv P' (P' ist das Bild)


Fall 2: \ P \not\equiv Z, dann


Konstruktion des Bildes eines Punktes \ P bei einer Drehung um \ Z mit dem Drehwinkel \ \alpha im Falle \ P \not\equiv Z
Schrittnr. Konstruktionsschritt Begründung der Korrektheit des Konstruktionsschrittes
(I) Konstruiere den Strahl \ ZQ+ an den Strahl \ ZP+ mit dem Winkel \ \alpha so an, dass die positive Orientierung von \alpha für < \ PZP' erhalten bleibt. Winkelkonstruktionsaxiom
(II) Trage die Strecke\overline{ZP} auf \ ZQ+ an \ Z ab und nenne den Punkt \ P'. Axiom vom Lineal--Tja??? 10:56, 11. Nov. 2010 (UTC)

Konstruktionsbeschreibung für Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal

Schritt 1 VSS.jpg
1) Wir zeichnen mit dem Zirkel einen Kreis k1 um Z, der durch P geht.
P1000886.JPG
2) Mit demselben Radius zeichnen wir nun einen Kreis um S.
P1000887.JPG
3) Die Schnittpunkte mit den Schenkeln p un q bezeichnen wir mit R und Q.
P1000888.JPG
4) Wir nimm die Strecke RQ in die Zirkelspanne,
P1000889.JPG
5) zeichne mit der Strecke RQ als Radius einen zweiten Kreis k2 um P.
P1000890.JPG
6) Die Schnittpunkte der beiden Kreise k1 und k2 benennen wir mit S1 und S2.
P1000891.JPG
7) Da der Winkel α mathematisch positiv gerichtet ist, muss auch der Drehwinkel der Abbildung positiv gerichtet sein.
8) Wir zeichnen die Strahlen ZP+ und ZS2+.
P1000892.JPG
9) S2 ist P', der Bildpunkt von P.
--Nicola 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC) --Andreas 13:00, 11. Nov. 2010 (UTC) --phhd_mat 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)

Konstruktionsbeschreibung 2:

1. Zeichne einen Kreis k1 mit Radius \overline {ZP} um den Mittelpunkt Z.
2. Zeichne einen Kreis mit Radius \overline {ZP} um den Mittelpunkt S (Scheitelpunkt des Winkels \alpha ). Nenne die Schnittpunkte R und Q.
3. Zeichne einen Kreis k2 mit Radius \overline {RQ} um den Mittelpunkt P.
4. Die Kreise k1 und k2 haben zwei Schnittpunkte. Nenne sie P1' und P2'. Zeichne die Strahlen ZP1'+, ZP+ und ZP2'+. Je nach Drehrichtung des Winkels \alpha, ist P1' bzw. P2' der Bildpunkt von P.
--morita 11:13, 15. Nov. 2010 (UTC)



Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt \ Z mit dem Drehwinkel \ \alpha

Definition 5.1: (Drehung um einen Punkt \ Z mit dem Drehwinkel \ \alpha

Es sei \ Z ein Punkt der Ebene und \ \alpha ein gerichteter Winkel. Unter der Drehung um \ Z mit dem Drehwinkel \ \alpha versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich für die folgendes gilt:

\forall P \in der Ebene gilt:

  1. \ P = P' , falls \ P = \ Z
  2. |\ ZP| = |\ ZP'| und |\angle \ PZP'| = \ |\alpha|, falls \ P \not = Z
    --Tja???,Andreas 22:44, 11. Nov. 2010 (UTC)

Definition verstanden?




1. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

(a) Der Punkt \ A wird bei der Drehung um \ Z mit dem Drehwinkel \ \alpha = 45^\circ auf den Punkt \ B abgebildet.
(b) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von \ B ist \ E, das Bild von \ E ist \ H, das Bild von \ H ist \ K, ..., das Bild von \ W ist \ B_1
(c) (b) ist äquivalent zu: Es gibt einen Kreis auf dem die Punkte \ B, E, H, K, U, Q, T, W, B_1 liegen.
(d) Der Punkt \ A wird bei der Drehung um \ Z mit dem Drehwinkel \ \alpha = 40^\circ auf den Punkt \ D abgebildet.
(e) Die Winkelhalbierenden der Winkel bei der obigen Darstellung, deren Scheitelpunkte alle auf ein und demselben Kreis liegen, sind parallel zueinander.
(f) Das Dreieck QPR wird bei einer Drehung um \ Z mit dem Drehwinkel \ \alpha = 50^\circ auf das Dreieck TSU abgebildet.
(g) Die Mittelsenlkrechten der Strecken AD, DG, GJ, JM,... schneiden sich im Punkt Z
(h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von \ L ist \ O, das Bild von \ O ist \ R, das Bild von \ R ist \ U, ..., das Bild von \ F ist \ I

Punkte: 0 / 0


2 Sätze und der dazugehörige Beweis

Ich habe mal zwei Beweise angefertigt und stelle sie an dieser Stelle allen zur Verfügung um darüber zu diskutieren. Gibt es Fehler in der Logik, der Schreibweise oder bei den Begründungen? Ich bin mir eben nicht ganz sicher :)

Satz: Jede Drehung D_{Z,\beta} ist eine Bewegung.


Beweis

Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel \beta
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

Beweisschritt Begründung
1) \overline {ZP} \cong \overline {ZP'} folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
2) \overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'} folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
3) \angle {PZP'} \cong \angle {QZQ'} folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
4) |\alpha'|=|\beta'|+|\alpha - \beta|

|\alpha'|= |\alpha|

 rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da \beta = \angle {PZP'} und \beta' = \angle {QZQ'}
5) \triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'} folgt aus den Schritten 1-4, sws
6) \overline {PQ} \cong \overline {P'Q'} folgt aus Schritt 5
7) |PQ|=|P'Q'| folgt aus Schritt 6, q.e.d

--Andreas 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

Satz: Wenn eine Bewegung \phi genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist \phi eine Drehung um den Fixpunkt Z.

Beweis

Voraussetzung: \phi ist eine Bewegung, \phi hat genau eine Fixpunkt Z
Behauptung: \beta \cong \beta'

Beweisschritt Begründung
1. P \ne P', Q \ne Q' folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
2. \overline {ZP} \cong \overline {ZP'} folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
3. \overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'} folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
4. \overline {PQ} \cong \overline {P'Q'} folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
5. \triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'} sss, folgt aus den Schritten 2-4
6. \alpha \cong \alpha'
|\alpha|= |\alpha'| 		folgt aus Schritt 5
7.|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|
|\beta'|=|\beta|
\beta' \cong \beta 		rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6

--Andreas 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)
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