Serie 4 SoSe 2013: Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl, die größer als 2 ist. Entwickeln Sie eine Abbildungsvorschrift, die jedem solchen n die Innenwinkelsumme des entsprechenden n-Ecks zuordnet. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Vorschrift.<br />
 
Es sei n eine beliebige natürliche Zahl, die größer als 2 ist. Entwickeln Sie eine Abbildungsvorschrift, die jedem solchen n die Innenwinkelsumme des entsprechenden n-Ecks zuordnet. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Vorschrift.<br />

Version vom 13. Mai 2013, 13:49 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 4.01

Der Innenwinkelsatz für Dreiecke sei bereits bewiesen.
Formulieren Sie einen analogen Satz für Vierecke und beweisen Sie diesen Satz.
Lösung von Aufgabe 4.01_S SoSe_13

Aufgabe 4.02

Es sei n eine beliebige natürliche Zahl, die größer als 2 ist. Entwickeln Sie eine Abbildungsvorschrift, die jedem solchen n die Innenwinkelsumme des entsprechenden n-Ecks zuordnet. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Vorschrift.
Lösung von Aufgabe 4.02_S SoSe_13

Aufgabe 4.03

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).
b) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade c jeweils in genau einem Punkt S geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel \alpha und \beta . Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?

  1. \ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta
  2. \alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b
  3. \|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b
  4. \ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta

Lösung von Aufgabe 4.03_S SoSe 13


Aufgabe 4.04

Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?
Lösung von Aufgabe 4.04_S SoSe 13

Aufgabe 4.05

Wir gehen davon aus, dass wir der ebenen Geometrie ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde gelegt haben. Bezüglich dieses Systems definieren wir die folgenden beiden Punktmengen:

  1. A:=\left\{P\left(x_P,y_P\right)|y_p=\frac{3}{4}x_p - \frac{7}{8}\right\}
  2. B:=\left\{P\left(x_P,y_P\right)|y_p=\frac{36,3}{48,4}x_p - 0,875\right\}

Beweisen Sie A \cap B = A.
Lösung von Aufgabe 4.05_S SoSe 13

Aufgabe 4.06

Sie dürfen davon ausgehen, dass für jedes Dreieck gilt: Der größeren zweier Seiten liegt der größere Innenwinkel gegenüber.
(o.B.d.A.: a>b \Rightarrow |\alpha| > |\beta|) Formulieren Sie die Umkehrung dieser Seiten-Winkel-Beziehung und beweisen Sie diese Umkehrung mittels eines Widerspruchsbeweises.
(Der Basiswinkelsatz sei auch schon bewiesen.)
Lösung von Aufgabe 4.06_S SoSe 13

Aufgabe 4.07

Definieren Sie den Begriff der Parallelität für Geraden. (Hinweis: Der Mathematiker hat sehr großes Interesse daran, dass die Relation parallel auf der Menge aller Geraden reflexiv ist, d.h. dass jede Gerade zu sich selbst parallel ist.)
Lösung von Aufgabe 4.06_S SoSe 13

Aufgabe 4.08

Gegeben seien in der Ebene \varepsilon zwei nicht identische Geraden a und b. Sowohl a als auch b mögen durch eine dritte Gerade c jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Beweisen Sie: Wenn bei diesem Schnitt kongruente Stufenwinkel entstehen, dann sind a und b parallel zueinander.
Hinweis: Führen Sie den Beweis indirekt, indem Sie annehmen, dass a und b nicht parallel sind. Jetzt dürfen Sie den schwachen Außenwinkelsatz (Jeder Außenwinkel ist größer als jeder nichtanliegende Innenwinkel.) anwenden.
Lösung von Aufgabe 4.08_S SoSe 13

Aufgabe 4.09

Welchen Satz haben Sie mit Aufgabe 4.08 bewiesen?
Lösung von Aufgabe 4.09_S SoSe 13

Aufgabe 4.10

Der Stufenwinkelsatz, der Nebenwinkelsatz und der Scheitelwinkelsatz seien bewiesen.
Beweisen Sie jetzt den Wechselwinkelsatz und den Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen.
Lösung von Aufgabe 4.10_S SoSe 13

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