Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. Juli 2010, 09:36 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Der Begriff des Lotes
- 1.1 Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)
- 1.2 Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)
2 Existenz und Eindeutigkeit des Lotes
- 2.1 Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
- 2.2 Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:

Der Begriff des Lotes

Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)

Es sei $\ P$ ein Punkt, der nicht zur Geraden $\ g$ gehören möge. ...

...Die Gerade $\ l$ , die senkrecht auf $\ g$ steht und durch den Punkt $\ P$ geht heißt Lotgerade von $\ P$ auf $\ g$ . Der Schnittpunkt $\ L$ von $\ l$ mit $\ g$ , heißt Lotfußpunkt des Lotes von $\ P$ auf $\ g$ . Unter dem Lot von $\ P$ auf $\ g$ , versteht man die Strecke $\overline {PL}$ . --Löwenzahn 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)

Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)

Es sei $\ P$ ein Punkt außerhalb von $\ g$ . Der Abstand von $\ P$ zu $\ g$ ist ...

... die Länge der Lotes $\overline {PL}$ von $\ P$ auf $\ g$ . --Löwenzahn 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)

Existenz und Eindeutigkeit des Lotes

Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)

Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es genau ein Lot von $\ P$ auf $\ g$ .

Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:

Lösung von Aufgabe 12.4

EXISTENZ
	Beweisschritt	Begründung
(I)	Konstruiere einen Punkt N auf g. Fall 1: Falls $P1N \perp g$ , dann ist $\overline{P1N}$ unser Lot. Fall 2: $P1N \not\perp g$ , dann weiter mit (II)	Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten)
(II)	Antragen von $\alpha1: \alpha1 \cong \alpha2$	Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom
(III)	Antragen von $\|NP\|1: \|NP1\| \cong\ \|NP2\|$	Konstruktion, Axiom vom Lineal
(IV)	Antragen von $\|NL\| \cong\ \|NL\|$	trivial
(V)	$\overline{LNP1} \cong\ \overline{LNP2}$	(II), (III), (IV), SWS
(VI)	$\angle NLP1 \cong\ \angle NLP2$	beides rechte Winkel --> $\overline{PN}$ ist Lot auf g.

$\overline{P1L}$ ist Lot von P auf g.
Annahme: $\exists N \in g$ mit $\overline{P1N}$ ist auch Lot von P auf g, $L \not\equiv N.$
$\alpha1$ ist bezüglich $\alpha$ nicht anliegender Innenwinkel ( $\overline{NLP1}$ ) --> Widerspruch, weil $\alpha1 < \alpha$ (schwacher Außenwinkelsatz)

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 [[Bild:Lot2.png|500px]]
-<math> \overline{P1L} </math>ist Lot von P auf g <br />
+<math> \overline{P1L} </math>ist Lot von P auf g. <br />
-Annahme:<math> \exists N \in g mit \overline{P1N} ist auch Lot von P auf g,  L \not\cong N<br /> \alpha1 ist bezüglich \alpha nicht anliegender Innenwinkel (\overline{NLP1}) --> Widerspruch, weil \alpha1 < \alpha (schwacher Außenwinkelsatz) </math>
+Annahme: <math> \exists N \in g </math> mit <math>\overline{P1N} </math> ist auch Lot von P auf g, <math> L \not\equiv N.</math> <br /> <math>\alpha1 </math> ist bezüglich <math> \alpha </math> nicht anliegender Innenwinkel (<math>\overline{NLP1}</math>) --> Widerspruch, weil <math> \alpha1 < \alpha </math> (schwacher Außenwinkelsatz)
-hhm, sowas blödes - kann jemand ne Fehleranalyse machen!?

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. Juli 2010, 09:36 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Der Begriff des Lotes

Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)

Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)

Existenz und Eindeutigkeit des Lotes

Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)

Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:

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