Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 21. Juli 2010, 15:04 Uhr
Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!
Grundbegriffe (undefinierte Begriffe)
- Punkt
- Gerade
- Ebene
Begriffsklärungen
- disjunkt - elementfremd, nicht gleich
- identitiv - antisymmetrisch, gleich
(z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC) - inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung
(z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC) - kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
- komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
- reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
- symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen
(z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC) - transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste
Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch
auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
- Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen.
Beispiel: Definition:(disjunkt)
Zwei Mengen und sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.
- Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
- Nichtfolgerbarkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen
- Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage aus einer Menge von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von aus scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für . In jedem Modell für müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für finden, in dem nicht gilt ...
- Modell für eine Menge von Axiomen
- ...
*m.g.* 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)
Klasseneinteilung
- Es sei eine Menge und eine Menge von Teilmengen von .
- ist eine Klasseneinteilung von , wenn gilt:
- notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
- notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
- notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge .
- Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.
Relationen
Definition: (n-stellige Relation)
- Es seien Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus ist eine stellige Relation.
Definition: (Äquivalenzrelation)
- Eine Relation in einer Menge heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Axiome
- Inzidenzaxiome:
Axiom I.0:
- Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)
- Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
Axiom I.2:
- Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
Axiom I.3:
- Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I.4:
- Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
Axiom I.5:
- Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Axiom I.6:
- Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
Axiom I.7:
- Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
- Abstandsaxiome:
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
- Zu je zwei Punkten und gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl mit .
Axiom II.2:
- Für zwei beliebige Punkte und gilt .
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte und gilt:
- Falls , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
- Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind , und kollinear.
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
- Zu jeder nicht negativen reelen Zahl gibt es auf jedem Strahl genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von den Abstand hat.
Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch)
- Gegeben sei ein Dreieck . Ferner sei eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte geht. Wenn eine der drei Seiten des Dreiecks schneidet, dann schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks .
Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom)
- Zu jedem Winkel gibt es genau eine reelle Zahl zwischen 0 und 180.
Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)
- Es sei eine Gerade in der Ebene . Zu jeder reellen Zahl mit gibt es in jeder der beiden durch bestimmten Halbebenen der Ebene genau einen Strahl mit
Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)
- Wenn der Punkt zum Inneren des Winkels gehört , dann gilt .
Axiom IV.4: (Supplementaxiom)
- Nebenwinkel sind supplementär.
Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)
- Wenn für zwei Dreiecke und die folgenden 3 Kongruenzen
- gelten,
- dann sind die beiden Dreiecke und kongruent zueinander.
Euklidisches Parallelenaxiom
- Zu jedem Punkt außerhalb einer Geraden gibt es höchstens eine Gerade , die durch geht und zu parallel ist.
Definitionen
Definition des Begriffs der Relation:
- Definition: (n-stellige Relation)
- Es seien Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus ist eine stellige Relation.
- Definition: (Äquivalenzrelation)
- Eine Relation in einer Menge heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Definition I.2: (kollinear)
- Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
- Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)
Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)
- Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.
Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)
- Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.
Definition I.5: (Raum)
- Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
Definition I.6: (komplanar)
- Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
Definition I.7: (komplanar für Geraden)
- Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
- Schreibweise: komp(g, h)
Definition I.8: (Geradenparallelität)
- Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
- In Zeichen: g||h.
Definition I.9: (windschief )
- Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
Definition I.10: (parallel für Ebenen)
- Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
Definition II.1: (Abstand)
- Der Abstand zweier Punkte und ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten und zugeordnet werden kann.
Schreibweise: .
Definition II.2: (Zwischenrelation)
- Ein Punkt liegt zwischen zwei Punkten und , wenn gilt und der Punkt sowohl von als auch von verschieden ist.
- Schreibweise:
Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
- Es seien und zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die und sowie alle Punkte, die zwischen und liegen, enthält, heißt Strecke . Stimmt das? --Sternchen 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)
Definition II.4: (Länge einer Strecke)
- Es seien und zwei verschiedene Punkte. Der Abstand heißt Länge der Strecke . OK? --Sternchen 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)
Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
- Eine informelle Definition:
- Definition: Halbgerade
- Gegeben seien zwei verschiedene Punkte und . Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden versteht man die Strecke vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man über hinaus verlängert.
- Definition: Halbgerade
- Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade .
- Definition: Halbgerade
- Definition: Halbgerade
- diese Lösung ist richtig!--Schnirch 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)
- Gegeben seien zwei nicht identische Punkte und . Unter wollen wir die Menge aller Punkte verstehen, die man erhält, wenn man über hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte an.
- Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:
- diese Lösung ist richtig! --Schnirch 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)
Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)
- Wenn ein Punkt der Strecke zu den Endpunkten und jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke .
Definition IV.1: (offene Halbebene)
- Es sei eine Ebene in der die Gerade liegen möge. Ferner sei ein Punkt der Ebene , der nicht zur Geraden gehört.
Unter den offenen Halbebenen und bezüglich der Trägergeraden versteht man die folgenden Punktmengen:
- Es sei eine Ebene in der die Gerade liegen möge. Ferner sei ein Punkt der Ebene , der nicht zur Geraden gehört.
muss es nicht heißen: \ g
da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder? --Frühling 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)
Nein, da 1. oben schon gesagt wurde, dass P nicht auf g liegen soll und 2. gäbe es somit auch keinen Schnittpunkt S. Also sind alle Punkte ausgeschlossen, die auf g liegen.
Definition IV.2: (Halbebene)
- Es sei eine Gerade der Ebene . und seien die beiden offenen Halbebenen von bezüglich . Unter den (geschlossenen) Halbebenen von bezüglich versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von bezüglich der Geraden mit jeweils dieser Geraden entstehen.
- Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: , (geschlossene) Halbebene: . Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass bzw. immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
- --*m.g.* 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)
Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --Rakorium 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)
Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)
- Eine Menge von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten und dieser Menge die gesamte Strecke zu gehört.
Definition V.1: (Winkel)
- Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.
oder
- Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.
Definition V.2: (Inneres eines Winkels)
- Das Innere eines Winkels ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen und
Definition V.3: (Scheitelwinkel)
- Die Winkel und sind Scheitelwinkel.
Definition V.4: (Nebenwinkel)
- Die Winkel und sind Nebenwinkel.
Definition V.5: (Größe eines Winkels)
- Die Zahl , die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von genannt.
In Zeichen: .
- Die Zahl , die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von genannt.
Definition V.6 : (Rechter Winkel)
- Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.
Definition V.7 : (Supplementärwinkel)
- Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.
Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)
- Es seien und zwei Geraden. Wenn sich und schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden und senkrecht aufeinader.
- In Zeichen: (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)
Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht)
- Eine Gerade und eine Strecke stehen senkrecht aufeinander, wenn die und die Gerade senkrecht aufeinander stehen.
- Eine Gerade und eine Strecke stehen senkrecht aufeinander, wenn die und die Gerade senkrecht aufeinander stehen.
Ergänzen Sie:
- Eine Strecke und eine Strecke stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --Maude001 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)
- Eine Gerade und eine Ebene stehen senkrecht aufeinander, wenn es in ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in liegen und auf die senkrecht steht. --Löwenzahn 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)
Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)
- Es sei eine Gerade und eine Strecke, die durch im Punkt geschnitten wird. ist die Mittelsenkrechte von , wenn
Definition VI.2
- Es seien , und drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt . Die Halbgerade ist die Winkelhalbierende des Winkels , wenn im Inneren von liegt und die beiden Winkel und dieselbe Größe haben.
Definition VII.1: (Streckenkongruenz)
- Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.
- In Zeichen
- Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.
Definition VII.2 : (Winkelkongruenz)
- Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.
- In Zeichen:
- Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.
Definition VII.3: (Dreieckskongruenz)
- Wenn für zwei Dreiecke und die folgenden 6 Kongruenzen
- gelten,
- dann sind die beiden Dreiecke und kongruent zueinander.
Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)
as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.
Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.
--Rakorium 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)
Definition VIII.1: Außenwinkel eines Dreiecks
Alle Nebenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks heißen Außenwinkel des Dreiecks. ---mogli- 15:20, 17. Jul. 2010 (UTC)
Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)
Es sei P ein Punkt, der nicht zur Geraden g gehören möge. Die Gerade l, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht heißt Lotgerade von P auf g. Der Schnittpunkt L von l mit g, heißt Lotfußpunkt des Lotes von P auf g. Unter dem Lot von P auf g, versteht man die Strecke . ---mogli- 15:19, 17. Jul. 2010 (UTC)
Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)
Es sei P ein Punkt außerhalb von g. Der Abstand von P zu g ist die Länge der Lotes von P auf g. ---mogli- 15:24, 17. Jul. 2010 (UTC)
Sätze
Satz I.1:
- Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)
- Es seien g und h zwei Geraden.
- Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.
Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)
- Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
Satz I.5:
- Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
Satz I.6:
- Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
Satz I.7:
- Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
Satz II.1:
- Aus folgt .
Satz II.2:
- Aus folgt .
Satz II.3:
- Es sei mit sind paarweise verschieden.
Dann gilt oder oder .
Satz II.4:
- Es sei ein Punkt einer Geraden .
Die Teilmengen , und bilden eine Klasseneinteilung der Geraden .
Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)
- Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.
Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit)
- Wenn ein Punkt der Halbebene ist, dann gilt und .
Satz IV.2:
- Halbebenen sind konvexe Punktmengen
Satz IV.3:
- Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Satz V.1:
- Das Innere eines Winkels ist konvex.
Satz V.2:
- Wenn der Punkt im Inneren des Winkels und nicht auf einem der Schenkel des Winkels liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel und jeweils kleiner als die Größe des Winkels .
Satz V.3: (Existenz von rechten Winkeln)
- Es gibt rechte Winkel.
Satz V.4:
- Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.
Satz V.5: ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt)
- Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.
oder
- Es sei eine Gerade der Ebene . Ferner sei ein Punkt auf . In der Ebene gibt es genau eine Gerade , die durch geht und senkrecht auf steht.
Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)
- Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.
Satz VI.:
- Es sei die Winkelhalbierende des Winkels . Dann gilt .
Satz VI.2: (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)
- Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.
Satz VII.1:
- Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.
Satz VII.2:
- Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.
Satz VII.3:
- Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.
Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW)
- Wenn für zwei Dreiecke und die folgenden 3 Kongruenzen
- gelten,
- dann sind die beiden Dreiecke und kongruent zueinander.
Satz VII.5: (Basiswinkelsatz)
- In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
Lemma 1:
- Die Winkelhalbierende eines Winkels schneidet die Strecke in genau einem Punkt .
Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)
- Eine Menge von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke , wenn für jeden Punkt gilt: .
Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von gehört.)
- Wenn ein Punkt zu den Endpunkten der Strecke jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von .
Satz VII.6 b: (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von gehört)
- Wenn ein Punkt zur Mittelsenkrechten der Strecke gehört, dann hat er zu den Punkten und ein und denselben Abstand.
Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz)
- Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.
Lemma 2:
- Wenn ein Punkt im Inneren des Winkels liegt, dann liegt der gesamte Strahl im Inneren des Winkels .
Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
Zu jedem Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es genau ein Lot von P auf g. ---mogli- 15:26, 17. Jul. 2010 (UTC)