Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Annahme:<math> \exists N \in g mit \overline{P1N} ist auch Lot von P auf g, | + | Annahme: <math> \exists N \in g </math> mit <math>\overline{P1N} </math> ist auch Lot von P auf g, <math> L \not\equiv N.</math> <br /> <math>\alpha1 </math> ist bezüglich <math> \alpha </math> nicht anliegender Innenwinkel (<math>\overline{NLP1}</math>) --> Widerspruch, weil <math> \alpha1 < \alpha </math> (schwacher Außenwinkelsatz) |
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Version vom 26. Juli 2010, 10:36 Uhr
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Der Begriff des Lotes
Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)
- Es sei ein Punkt, der nicht zur Geraden gehören möge. ...
- ...Die Gerade , die senkrecht auf steht und durch den Punkt geht heißt Lotgerade von auf . Der Schnittpunkt von mit , heißt Lotfußpunkt des Lotes von auf . Unter dem Lot von auf , versteht man die Strecke . --Löwenzahn 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)
- Es sei ein Punkt, der nicht zur Geraden gehören möge. ...
Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)
- Es sei ein Punkt außerhalb von . Der Abstand von zu ist ...
- ... die Länge der Lotes von auf . --Löwenzahn 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)
Existenz und Eindeutigkeit des Lotes
Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
- Zu jedem Punkt außerhalb einer Geraden gibt es genau ein Lot von auf .
Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
(I) | Konstruiere einen Punkt N auf g. Fall 1: Falls , dann ist unser Lot. Fall 2: , dann weiter mit (II) |
Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten) |
(II) | Antragen von | Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom |
(III) | Antragen von | Konstruktion, Axiom vom Lineal |
(IV) | Antragen von | trivial |
(V) | (II), (III), (IV), SWS | |
(VI) | beides rechte Winkel --> ist Lot auf g. |
ist Lot von P auf g.
Annahme: mit ist auch Lot von P auf g,
ist bezüglich nicht anliegender Innenwinkel () --> Widerspruch, weil (schwacher Außenwinkelsatz)