12)

Beweisen Sie die Gültigkeit der Umkehrung des Basiswinkelsatzes

Vorr.:$\overline{ABC} ; \alpha \tilde {=} \beta$

Beh.:$\overline{AC} \tilde {=} \overline{BC}$

Beweis:

Schritt	Begründung
(1)$\exists M:M\in \overline{AB} \wedge \left| AM \right| =\left| MB \right|$	Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes
(2) $\exists m:M\in m \wedge \ m \perp \overline{AB}$	Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten, (1)
(3) zu Zeigen: $C\in m$	Dann gilt die Behauptung, Satz. Jeder Punkt vom m hat den selben Abstand zu A und B
(4) Ann.: $C\not\in m$ d.h. o.B.d.A. $\left| AC \right| < \left| BC \right|$
(5) $\exists D: D\in \ BC^{+} \wedge \left| DB \right| = \left| AC \right|$	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, (4)
(6) C im inneren von $\angle ADC$	Winkeladditonsaxiom (5)
(7) $\exists \angle DAC : |\angle DAC| \neq 0$	(4),(5),(6)
(8) $|\angle DAC| + |\angle CAB| = |\angle DAB|$	(5),(6),(7) Winkeladditonsaxiom
(9) $\angle ADB \tilde {=} \angle ABC$	Basiswinkelsatz (5)
(10)$\angle ABC \tilde \neq \angle BAC$ Wiederspruch zur Vorr., Annahme verwerfen, Behaupt stimmt	(9),(8),(7),(5)

--RicRic 13:04, 3. Jan. 2012 (CET)