Übung 12 SoSe 12

Absolute Geometrie

Aufgabe 12.1

Man beweise: Ein Punkt $\ P$ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $\ \alpha$, wenn er zu den Schenkeln von $\ \alpha$ jeweils denselben Abstand hat.

Lösung von Aufg. 12.1_S

Aufgabe 12.2

Beweisen Sie die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes
a) mithilfe der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes.
b) ohne die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes zu verwenden.

Lösung von Aufg. 12.2_S

Aufgabe 12.3

Beweisen Sie: Wenn $\ P$ ein Punkt außerhalb der Geraden $\ g$ ist, dann gibt es eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und parellel zu $\ g$ ist.
Lösung von Aufg. 12.3_S

Aufgabe 12.4

Es sei folgende Definition für den Begriff Parallelogramm gegeben:

Ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten heißt Parallelogramm.

Beweisen Sie: Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.
Lösung von Aufg. 12.4_S

Euklidische Geometrie

Aufgabe 12.4

Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:
Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es genau eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und zu $\ g$ parallel ist.

Lösung von Aufg. 12.4_S

Aufgabe 12.5

Beweisen Sie den Wechselwinkelsatz, ohne den Stufenwinkelsatz zu verwenden.
Lösung von Aufg. 12.5_S

Aufgabe 12.6

Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke
a) mithilfe des Stufenwinkelsatzes.
b) mithilfe der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes.
Lösung von Aufg. 12.6_S

Aufgabe 12.7

Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Lösung von Aufg. 12.7_S