Serie 4 SoSe 2013

Aufgabe 4.01 Der Innenwinkelsatz für Dreiecke sei bereits bewiesen. Formulieren Sie einen analogen Satz für Vierecke und beweisen Sie diesen Satz. Lösung von Aufgabe 4.01_S SoSe_13 Aufgabe 4.02 Es sei n eine beliebige natürliche Zahl, die größer als 2 ist. Entwickeln Sie eine Abbildungsvorschrift, die jedem solchen n die Innenwinkelsumme des entsprechenden n-Ecks zuordnet. Lösung von Aufgabe 4.02_S SoSe_13 Aufgabe 4.03 a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). b) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade c jeweils in genau einem Punkt S geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel $\alpha$ und $\beta$. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? $\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta$ $\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b$ $\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b$ $\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta$ Lösung von Aufgabe 4.03_S SoSe 13 Aufgabe 4.04 Es seien $A$ und $B$ zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass $A = B$ ? Lösung von Aufgabe 4.04_S SoSe 13 Aufgabe 4.05 Wir gehen davon aus, dass wir der ebenen Geometrie ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde gelegt haben. Bezüglich dieses Systems definieren wir die folgenden beiden Punktmengen: $A:=\left\{P\left(x_P,y_P\right)|y_p=\frac{3}{4}x_p - \frac{7}{8}\right\}$ $B:=\left\{P\left(x_P,y_P\right)|y_p=\frac{36,3}{48,4}x_p - 0,875\right\}$ Beweisen Sie $A \cap B = A$. Lösung von Aufgabe 4.05_S SoSe 13 Aufgabe 4.06 Sie dürfen davon ausgehen, dass für jedes Dreieck gilt: Der größeren zweier Seiten liegt der größere Innenwinkel gegenüber. (o.B.d.A.: $a>b \Rightarrow |\alpha| > |\beta|$) Formulieren Sie die Umkehrung dieser Seiten-Winkel-Beziehung und beweisen Sie diese Umkehrung mittels eines Widerspruchsbeweises. (Der Basiswinkelsatz sei auch schon bewiesen.) Lösung von Aufgabe 4.06_S SoSe 13