Drehungen 2010

Konstruktionsbeschreibung

Es seien $\ Z$ und $\ P$ zwei Punkte der Ebene. Ferner sei $\ \alpha$ ein gerichteter Winkel.

Das Bild von $\ P$ bei einer Drehung um $\ Z$ wird wie folgt konstruiert:

Fall 1: $\ P \equiv Z$ ,dann ist $\ P \equiv P'$ (P' ist das Bild)

Fall 2: $\ P \not\equiv Z$, dann

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei einer Drehung um $\ Z$ mit dem Drehwinkel $\ \alpha$ im Falle $\ P \not\equiv Z$

Schrittnr.	Konstruktionsschritt	Begründung der Korrektheit des Konstruktionsschrittes
(I)	Konstruiere den Strahl $\ ZQ+$ an den Strahl $\ ZP+$ mit dem Winkel $\ \alpha$ so an, dass die positive Orientierung von $\alpha$ für < $\ PZP'$erhalten bleibt.	Winkelkonstruktionsaxiom
(II)	Trage die Strecke$\overline{ZP}$ auf $\ ZQ+$ an $\ Z$ ab und nenne den Punkt $\ P'$.	Axiom vom Lineal--Tja??? 10:56, 11. Nov. 2010 (UTC)

Konstruktionsbeschreibung für Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal

1) Wir zeichnen mit dem Zirkel einen Kreis k₁ um Z, der durch P geht.

2) Mit demselben Radius zeichnen wir nun einen Kreis um S.

3) Die Schnittpunkte mit den Schenkeln p un q bezeichnen wir mit R und Q.

4) Wir nimm die Strecke RQ in die Zirkelspanne,

5) zeichne mit der Strecke RQ als Radius einen zweiten Kreis k₂ um P.

6) Die Schnittpunkte der beiden Kreise k₁ und k₂ benennen wir mit S₁ und S₂.

7) Da der Winkel α mathematisch positiv gerichtet ist, muss auch der Drehwinkel der Abbildung positiv gerichtet sein.
8) Wir zeichnen die Strahlen ZP⁺ und ZS₂⁺.

9) S₂ ist P', der Bildpunkt von P.
--Nicola 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC) --Andreas 13:00, 11. Nov. 2010 (UTC) --phhd_mat 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)

Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt $\ Z$ mit dem Drehwinkel $\ \alpha$

Definition 5.1: (Drehung um einen Punkt $\ Z$ mit dem Drehwinkel $\ \alpha$

Es sei $\ Z$ ein Punkt der Ebene und $\ \alpha$ ein gerichteter Winkel. Unter der Drehung um $\ Z$ mit dem Drehwinkel $\ \alpha$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich für die folgendes gilt:

$\forall P \in$ der Ebene gilt:

1. $\ P = P'$ , falls $\ P = \ Z$
2. $|\overline{ZP}| = |\overline{ZP'}|$ und |$\angle \ PZP'$| = $\ |\alpha|$, falls $\ P \not = Z$--Tja??? 17:38, 11. Nov. 2010 (UTC)

Bei 2. würde ich $|ZP|=|ZP'|$ oder $\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}$ benutzen. --Andreas 22:44, 11. Nov. 2010 (UTC)

Definition verstanden?

1. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

	(a) Der Punkt $\ A$ wird bei der Drehung um $\ Z$ mit dem Drehwinkel $\ \alpha = 45^\circ$ auf den Punkt $\ B$ abgebildet.
	(b) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von $\ B$ ist $\ E$, das Bild von $\ E$ ist $\ H$, das Bild von $\ H$ ist $\ K$, ..., das Bild von $\ W$ ist $\ B_1$
	(c) (b) ist äquivalent zu: Es gibt einen Kreis auf dem die Punkte $\ B, E, H, K, U, Q, T, W, B_1$ liegen.
	(d) Der Punkt $\ A$ wird bei der Drehung um $\ Z$ mit dem Drehwinkel $\ \alpha = 40^\circ$ auf den Punkt $\ D$ abgebildet.
	(e) Die Winkelhalbierenden der Winkel bei der obigen Darstellung, deren Scheitelpunkte alle auf ein und demselben Kreis liegen, sind parallel zueinander.
	(f) Das Dreieck QPR wird bei einer Drehung um $\ Z$ mit dem Drehwinkel $\ \alpha = 50^\circ$ auf das Dreieck TSU abgebildet.
	(g) Die Mittelsenlkrechten der Strecken AD, DG, GJ, JM,... schneiden sich im Punkt Z
	(h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von $\ L$ ist $\ O$, das Bild von $\ O$ ist $\ R$, das Bild von $\ R$ ist $\ U$, ..., das Bild von $\ F$ ist $\ I$

Punkte: 0 / 0

2 Sätze und der dazugehörige Beweis

Ich habe mal zwei Beweise angefertigt und stelle sie an dieser Stelle allen zur Verfügung um darüber zu diskutieren. Gibt es Fehler in der Logik, der Schreibweise oder bei den Begründungen? Ich bin mir eben nicht ganz sicher :)

Beweis

Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel $\beta$
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
2) $\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
3) $\angle {PZP'} \cong \angle {QZQ'}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
4) $|\alpha'|=|\beta'|+|\alpha - \beta|$ $|\alpha'|= |\alpha|$	rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da $\beta = \angle {PZP'}$ und $\beta' = \angle {QZQ'}$
5) $\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}$	folgt aus den Schritten 1-4, sws
6) $\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}$	folgt aus Schritt 5
7) $|PQ|=|P'Q'|$	folgt aus Schritt 6, q.e.d

--Andreas 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

Beweis

Voraussetzung: $\phi$ ist eine Bewegung, $\phi$ hat genau eine Fixpunkt Z
Behauptung: $\beta \cong \beta'$

Beweisschritt	Begründung
1. $P \ne P', Q \ne Q'$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
2. $\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
3. $\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
4. $\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
5. $\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}$	sss, folgt aus den Schritten 2-4
6. $\alpha \cong \alpha'$ $|\alpha|= |\alpha'|$	folgt aus Schritt 5
7.$|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|$ $|\beta'|=|\beta|$ $\beta' \cong \beta$	rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6

--Andreas 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)

Genauso könnte man den Beweis doch über die SSS- Kongruenz zeigen: Die Kongruenz der Strecken ZP zu ZP', ZQ zu ZQ' und PQ zu P'Q'. somit wären die beiden Dreiecke ZPQ und ZP'Q' kongruent zu einander und daraus folgt das der Winkel QZP und der Winkel Q'ZP' ebenfalls kongruent zu einander sind.--Frühling 15:45, 13. Nov. 2010 (UTC)