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Aufgabe 1
a) Definieren Sie den Begriff: "Konkave Punktmenge" ohne den Begriff "konvex" zu gebrauchen.
b) Begründen Sie, dass der Schnitt einer offenen Halbebene E mit einer Halbgeraden, die zwei Punkte mit E gemeinsam hat, auf jeden Fall eine konvexe Punktmenge ist.
c) Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Vereinigungsmenge des Inneren zweier Drachenvierecke, die keine Rauten sind, konkav sein kann.
Aufgabe 2
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 3
Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn ein Punkt P zur Mittelsenkrechten der Strecke gehört, dann hat er zu den Punkten A und B ein und denselben Abstand.
a) Formulieren Sie die Kontraposition dieser Implikation.
b) Formulieren Sie die Umkehrung dieser Implikation.
Aufgabe 4
Definieren Sie den Begriff Strahl . Verwenden Sie dabei den Begriff Strecke.
Aufgabe 5
Definition (gemeiner Dreiecksschneider): Unter einem gemeinen Dreieckschneider versteht man eine Gerade, die alle drei offenen Seiten eines Dreiecks schneidet.
Beschreiben Sie die Menge aller gemeinen Dreiecksschneider und begründen Sie Ihre Aussage.
Aufgabe 6
Es seien A, B und C drei paarweise verschiedene Punkte. Beweisen Sie:
Aufgabe 7
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: