Definitionen in der Mathematik WS 11/12

Erkenntnisse aus dem einführenden Beispiel

Wir haben im einführenden Beispiel festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus.
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte Grundbegriffe eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...).
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten Axiome, die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest.

Was ist eine Definition?

• Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.
  
• Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.
  Anmerkung: Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
• Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.
  Anmerkung: Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:
  Bsp. Definition Rechteck:
  Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel.
  Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.
  
  

Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren

Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.

Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen

Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.

Das Übliche, die Realdefinition

Es seien $a$ und $b$ zwei ganze Zahlen. $T$ sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von $a$ als auch von $b$ sind. Die größte Zahl der Menge $T$ heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen $a$ und $b$.

Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"

Wenn eine Zahl $g$ sowohl die ganze Zahl $a$ als auch die ganze Zahl $b$ teilt und es keine Zahl $t$ gibt, die auch $a$ und $b$ teilt und dabei größer als $g$ ist, dann ist $g$ der größte gemeinsame Teiler von $a$ und $b$.

Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition

Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen $a$ und $b$ erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$.

Beispiel 2: Drachenviereck

Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.

Realdefinition

Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.

Konventionaldefinition

Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.

genetisch, operative Definition

Es sei $\overline{ABC}$ein Dreieck und $\ C'$ das Bild von $\ C$ bei der Spiegelung an $\ AB$. Das Viereck $\overline{AC'BC}$ ist ein Drachenviereck.

Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen

Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:
* Definitionen

Entwicklung einer "neuen" Definition

Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff Ellipse zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen.

EmbedVideo erhielt die unbrauchbare ID „PQjeTmY0cdQ&NR=1“ für „youtube“.

Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?

In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:

Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.

Aufgaben:

1. Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt P und beobachten Sie die Strecken a und b).
   Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
   
   
2. Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs
   Ellipse zu entwickeln.
   
   
3. Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?
   

Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.

Definition E.1: Ellipse

Eine Ellipse ist eine Punktmenge, die alle Punkte P enthält, die folgende Eigenschaften besitzen |F₁P|+|F₂P|=konstant mit F₁ und F₂ sind zwei beliebe Punkte in der Ebene und |F₁P|+|F₂P| > |F₁F₂| (In der Vorlesung am 24.10.2011 erarbeitet.) --Cluster 17:07, 24. Okt. 2011 (CEST)

Darf man es auch so formulieren: -> Es seien F1 und F2 zwei Brennpunkte. Die Punktmenge P ergibt eine Ellipse, wenn gilt, dass die Strecke F1,P,F2 insgesamt/in der Summe immer die gleiche Länge hat. --Carmen88 17:18, 24. Okt. 2011 (CEST)

• Wenn jetzt aber die Strecke F1,P,F2 gleich groß ist wie die Strecke F1,F2 dann erhalte ich in der Summe zwei Punke und keine Elipse, oder?--RicRic 22:19, 1. Nov. 2011 (CET)

Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse

Der Kreis ist eine Sonderform der Elipse, hier fallen die zwei Punke F1,F2 auf einen einzigen Punkt. Somit sind alle Kreise Elipsen.
Kreise sind also ein echte Teilmenge der Elipsen. --RicRic 21:53, 1. Nov. 2011 (CET)

Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen

Das Haus der Vierecke

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Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.

In Anlehnung an die Übungsaufgabe 1.2 der ersten Serie

Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert. Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.

=Definition: Viereck

Definition: Oval

Wir sind gerade am definieren des Begriffes Oval und würden gerne eure Meinung zu folgender Definition hören: Es seien k1 und k2 zwei kongruente Kreise. Ferner seien A1, B1 und C1 Elemente des Kreises k1 und A2, B2 und C2 Elemente des Kreises 2. Ferner sei M1 der Mittelpunkt von k1 und M2 Mittelpunkt von k2. Ferner sei M1 Element der Strecke A1B1 und M2 Element der Strecke A2B2. Ferner sei die Schnittmenge der offenen Strecke A1A2 mit beiden Kreisen die leere Menge und die Schnittmenge der offenen Strecke B1B2 mit den Kreisen ebenfalls die leere Menge. Die Mächtigkeit der Schnittmenge von der Strecke C1C2 mit den beiden Strecken A1B1 und A2B2 sei 2. Ein Oval ist die Punktmenge A1B1C1+ geschnitten mit k1 vereinigt mit A2B2C2+ geschnitten mit k2 vereinigt mit der Strecke A1A2 vereinigt mit der Strecke B1B2, wenn A1A2 parallel B1B2.

Definition: Rechteck

• Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln. --Phhd mat 10:40, 18. Jan. 2012 (CET)
• Bei einem Rechteck sind alle vier Innenwinkel gleichgroß. --Phhd mat 10:40, 18. Jan. 2012 (CET)

>Beachte, dass bei formalen Definitionen nur so viel an Eigenschaften genannt wird, wie auch wirklich benötigt wird, damit der Begriff eindeutig ist. Bei je einer Definiton von Rechteck und Quadrat lassen sich noch Eigenschaften reduzieren. --Tutorin Anne 11:03, 18. Jan. 2012 (CET)

• Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwikeln.--RicRic 20:50, 18. Jan. 2012 (CET)
• Ein Rechteck ist Paralellogramm mit einem rechten Innenwikel. --RicRic 20:50, 18. Jan. 2012 (CET)
• Ein Rechreck ist ein Trapez mit einem weiteren Paar paralleler Seiten und drei kongruenten Innenwinkeln. --RicRic 20:50, 18. Jan. 2012 (CET)
  

Müssen es bei der letzten Def. 3 kongruente Innenwinkel sein? --Tutor Andreas 11:07, 19. Jan. 2012 (CET)

• Wenn ich Innen weglasse, könnte es doch so ausehen:

--RicRic 17:54, 19. Jan. 2012 (CET)
Sehr gut! Wenn du über konkruente Innenwinkel gehen willst, dann brauchst du drei. Aber brauchst du dann auch ein weiteres Paar parallele Seiten? --Tutorin Anne 12:36, 25. Jan. 2012 (CET)

Definition: Quadrat

• Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln und gleichlangen Diagonalen. --Phhd mat 10:46, 18. Jan. 2012 (CET)
• Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleichlangen Seiten (Rechteck muss bekannt sein). --Phhd mat 10:46, 18. Jan. 2012 (CET)
• Ein Quadrat ist ein Rechteck mit drei gleichlangen Seiten.--RicRic 20:46, 18. Jan. 2012 (CET)
• Ein Quadrat ist ein Raute mit einem rechten Innenwinkel.--RicRic 20:46, 18. Jan. 2012 (CET)
• Ein Quadrat ist ein Parallelogramm mit einem rechten Innenwikel und zwei gleich langen benachbarten Seiten. --RicRic 20:46, 18. Jan. 2012 (CET)

Definition: Raute

• Eine Raute ist ein Viereck, das diagonalsymmetrisch und punktsymmetrisch ist. Die sich schneidenen Diagonal stehen senkrecht zueinandern und halbieren sich. --Phhd mat 10:49, 18. Jan. 2012 (CET)

Das ist eine schöne Bescheibung, umfasst aber mehr Informationen als in eine formale Definition gehören.--Tutorin Anne 12:38, 25. Jan. 2012 (CET)

Es kann nur eine geben - oder?

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Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.

Definition E.2: Ellipse

Parabel	Hyperbel

Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide

Mit einem Spirograph (Spielzeug) lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide. [ www.ph-heidelberg.de is not an authorized iframe site ]
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert.
Die Variablen bedeuten:

• n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
• n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
• R: Radius des festen Kreises
• r: Radius des abrollenden Kreises
• d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.

Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

Definition E.3: Ellipse

Es sei $\ h$ eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist $\ h$ eine Ellipse.