Das Wiki für die Lehrveranstaltung Lineare Algebra/analytische Geometrie SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Das Wiki für die Lehrveranstaltung "Lineare Algebra/analytische Geometrie", Sommersemester 2017'''
 
'''Das Wiki für die Lehrveranstaltung "Lineare Algebra/analytische Geometrie", Sommersemester 2017'''
 
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=Literatur=
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=Literatur und mehr=
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[[Literatur]]
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*[https://www.amazon.de/Elementare-Lineare-Algebra-Linearisieren-Koordinatisieren/dp/3827424127/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1525360239&sr=8-1&keywords=filler+lineare+algebra Filler, Lineare Algebra]
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*[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm Rechner zum Lösen Linearer Gleichungssysteme]
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*[https://www.geogebra.org/home Geogebra]
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=Aus früheren Semestern=
 
=Aus früheren Semestern=
 
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie SoSe 2017]]
 
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie SoSe 2017]]
 
*[[Übungsaufgaben SoSe 2017]]
 
*[[Übungsaufgaben SoSe 2017]]
 
*[[Übungsaufgaben SoSe 2018]]
 
*[[Übungsaufgaben SoSe 2018]]
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*[[Übungsaufgaben SoSe 2019]]
  
 
=Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme=
 
=Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme=
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[[Gleichungssysteme schreiben]]
 
==Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen und zwei Gleichungen==
 
==Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen und zwei Gleichungen==
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===Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen: ax+by=c===
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*[[Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen]]
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===Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten===
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====Das Gleichsetzungsverfahren====
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*[[Das Gleichsetzungsverfahren]]
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====Das Additionsverfahren====
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*[[Das Additionsverfahren]]
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===Lösbarkeit eines Linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten===
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*[[Lösbarkeit 2x2LGS]]
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==Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen und drei Gleichungen==
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==Allgemeine lineare Gleichung mit drei Variablen: ax+by+cz=d==
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*[[Allgemeine lineare Gleichung mit drei Variablen]]
 +
==Lösbarkeit von LGS==
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*[[Zeilenrang]]
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*[[Das Problem mit dem Beispiel zur linearen Unabhängigkeit der Zeilen der Koeffizientenmatrix vom 18. Mai]]
 +
=Kapitel 2 Analytische Geometrie: Parameterdarstellung von Kurven=
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*[[Kreise]]
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*[[Lissajousfiguren]]
  
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==Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen==
 
−
===ax + by + c = 0===
 
−
<math>
 
−
\begin{align}
 
−
ax+by=c \\
 
−
a, b, c \in \mathbb{R} \\
 
−
x, y \in \mathbb{R},
 
−
\end{align}
 
−
</math><br />
 
−
<iframe scrolling="no" title="Lineare Gleichung mit zwei Variablen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ScDQeGnF/width/852/height/568/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="852px" height="568px" style="border:0px;"> </iframe>
 
−
<br />
 
−
===Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by=c===
 
−
Es seien <math>a, b, c \in \mathbb{R}</math> , beliebig aber fest, <math>a, b</math> nicht gleichzeitig <math>0</math>,<br />
 
−
<math>x,y \in \mathbb{R}</math>, variabel.<br /> Wir untersuchen die Gleichung<br />
 
−
(I) <math>ax+by=c</math>
 
−
 
−
'''Satz 1:'''<br />
 
−
:Die Gleichung (II) <math>ax+by=c</math> beschreibt die Menge aller Punkte einer Geraden in der reellen Zahlenebene.<br />
 
−
'''Beweis:'''<br />
 
−
Aus der Schule ist die folgende Gleichung für Geraden bekannt: <math>y=mx+b</math>, <math>m,b \in \mathbb{R}</math>, beliebig aber fest, <math>x,y \in \mathbb{R}</math> variabel.
 
−
Wir führen zwei Beweise:
 
−
# Wir zeigen, dass jede Gleichung vom Typ (I) durch äquivalente Umformungen in eine Gleichung vom Typ (II) überführt werden kann.
 
−
# Wir zeigen, dass umgekehrt (fast) jede Gleichung vom Typ (II) durch äquivalente Umformungen in den Typ (I) überführt werden können.
 
−
Ausführung des Beweises: Übungsaufgaben 1.1 und 1.2 in  [[Serie 1: Geraden in der Ebene, zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten SoSe 2018]]
 
−
===Algebraische Beschreibung der Lösungsmenge einer Gleichung der Form <math>ax+by=c</math>===
 
−
====Voraussetzung====
 
−
Wir schließen aus, dass <math>a</math> und <math>b</math> gleichzeitig <math>0</math> sind: <math>a^2 +b^2 \not = 0</math>
 
−
====Fall 1: <math>b \not =0</math>====
 
−
<math>
 
−
\begin{align}
 
−
ax+by &= c \\
 
−
by &= -ax+c \\
 
−
y &= \frac{-ax+c}{b}  \\
 
−
y &= -\frac{a}{b}x+\frac{b}{c}
 
−
\end{align}
 
−
</math>
 
−
<br />
 
−
 
−
<math>L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= t \\ y&= -\frac{a}{b}t+\frac{b}{c} \end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}</math><br />
 
−
Falls <math>a=0</math> vereinfacht sich die Lösungsmenge <math>L</math> zu: <br />
 
−
<math>L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= t \\ y&= \frac{b}{c} \end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}</math><br />
 
−
 
−
====Fall 2: <math>b=0</math>====
 
−
<math>
 
−
\begin{align}
 
−
a x &=c \\
 
−
x&=\frac{c}{a}
 
−
\end{align}
 
−
</math><br />
 
−
<math>L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= \frac{c}{a} \\ y&= t\end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}</math><br />
 
−
==Zusammenfassung==
 
−
# <math>a \not = 0 \land b \not = 0</math> :Gerade, die weder zur <math>x-</math> noch zur <math>y-</math>Achse parallel ist.
 
−
# <math>a = 0 \land b \not = 0</math> : Gerade, die parallel zur <math>x-</math>Achse ist.
 
−
# <math>a \not = 0 \land b  = 0</math> : Gerade, die parallel zur <math>y-</math>Achse ist.
 
−
 
−
==Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten==
 
−
 
−
===Das Gleichsetzungsverfahren===
 
−
<math>
 
−
\begin{align}
 
−
4x  - 5y &=13 \\
 
−
3x +4y &=3
 
−
\end{align}
 
−
</math><br />
 
−
 
−
<br />Wir stellen beide Gleichungen nach <math>y</math> um:<br />
 
−
<math>
 
−
\begin{align}
 
−
y &=& \frac{4}{5}x &- &\frac{13}{5} \\
 
−
y &=& -\frac{3}{4}x &+ &\frac{3}{4}
 
−
\end{align}
 
−
</math>
 
−
<br />
 
−
Gleichsetzen der rechten Seiten: <br />
 
−
 
−
<math>
 
−
\frac{4}{5}x - \frac{13}{5} = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}
 
−
</math><br />
 
−
Vereinfachen:<br />
 
−
<math>x=\frac{67}{31}</math><br />
 
−
<math>\begin{align}
 
−
y &=& \frac{4}{5}x &- &\frac{13}{5} \\
 
−
y &=& \frac{4}{5}\frac{67}{31} &- &\frac{13}{5} \\
 
−
y &=& -\frac{27}{31}
 
−
\end{align}</math>
 
−
 
−
<iframe scrolling="no" title="zweiGleichungenzweiUnbekannte" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/PHeftBZn/width/839/height/522/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="839px" height="522px" style="border:0px;"> </iframe>
 
−
 
−
 
−
 
−
===Das Additionsverfahren===
 
−
====Äquivalenzumformungen für Lineare Gleichungssysteme====
 
−
* Vertauschen zweier Gleichungen
 
−
* Multiplikation einer Gleichung mit einer reellen Zahl <math>r, r \not = 0</math>
 
−
* Addition zweier Gleichungen
 
−
====Beispiel 1====
 
−
<math>\begin{align}
 
−
\text{(I)} && 5x + 7y &= 4 && \\
 
−
\text{(II)} && 3x + 11y &= 1 && \\
 
−
\hline
 
−
\text{(I)} && 5x + 7y &= 4 && \vert  \cdot 3\\
 
−
\text{(II)} && 3x + 11y &= 1 && \vert  \cdot (-5)\\
 
−
\hline
 
−
\text{(I)} && 15x + 21y &= 12 && \\
 
−
\text{(II)} && -15x - 55y &= -5 && \\
 
−
\hline
 
−
\end{align}</math>
 
 
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[[Kategorie:Linalg]]
 
[[Kategorie:Linalg]]

Aktuelle Version vom 30. April 2019, 14:33 Uhr

Das Wiki für die Lehrveranstaltung "Lineare Algebra/analytische Geometrie", Sommersemester 2017

Inhaltsverzeichnis

Literatur und mehr

Aus früheren Semestern

Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme

Gleichungssysteme schreiben

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen und zwei Gleichungen

Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen: ax+by=c

Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

Das Gleichsetzungsverfahren

Das Additionsverfahren

Lösbarkeit eines Linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen und drei Gleichungen

Allgemeine lineare Gleichung mit drei Variablen: ax+by+cz=d

Lösbarkeit von LGS

Kapitel 2 Analytische Geometrie: Parameterdarstellung von Kurven

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