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| '''Das Wiki für die Lehrveranstaltung "Lineare Algebra/analytische Geometrie", Sommersemester 2017''' | | '''Das Wiki für die Lehrveranstaltung "Lineare Algebra/analytische Geometrie", Sommersemester 2017''' |
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− | =Literatur= | + | =Literatur und mehr= |
− | [[Literatur]] | + | *[https://www.amazon.de/Elementare-Lineare-Algebra-Linearisieren-Koordinatisieren/dp/3827424127/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1525360239&sr=8-1&keywords=filler+lineare+algebra Filler, Lineare Algebra] |
| + | *[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm Rechner zum Lösen Linearer Gleichungssysteme] |
| + | *[https://www.geogebra.org/home Geogebra] |
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| =Aus früheren Semestern= | | =Aus früheren Semestern= |
| *[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie SoSe 2017]] | | *[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie SoSe 2017]] |
| *[[Übungsaufgaben SoSe 2017]] | | *[[Übungsaufgaben SoSe 2017]] |
| *[[Übungsaufgaben SoSe 2018]] | | *[[Übungsaufgaben SoSe 2018]] |
| + | *[[Übungsaufgaben SoSe 2019]] |
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| =Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme= | | =Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme= |
− | | + | [[Gleichungssysteme schreiben]] |
| ==Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen und zwei Gleichungen== | | ==Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen und zwei Gleichungen== |
| + | ===Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen: ax+by=c=== |
| + | *[[Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen]] |
| + | ===Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten=== |
| + | ====Das Gleichsetzungsverfahren==== |
| + | *[[Das Gleichsetzungsverfahren]] |
| + | ====Das Additionsverfahren==== |
| + | *[[Das Additionsverfahren]] |
| + | ===Lösbarkeit eines Linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten=== |
| + | *[[Lösbarkeit 2x2LGS]] |
| + | ==Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen und drei Gleichungen== |
| + | ==Allgemeine lineare Gleichung mit drei Variablen: ax+by+cz=d== |
| + | *[[Allgemeine lineare Gleichung mit drei Variablen]] |
| + | ==Lösbarkeit von LGS== |
| + | *[[Zeilenrang]] |
| + | *[[Das Problem mit dem Beispiel zur linearen Unabhängigkeit der Zeilen der Koeffizientenmatrix vom 18. Mai]] |
| + | =Kapitel 2 Analytische Geometrie: Parameterdarstellung von Kurven= |
| + | *[[Kreise]] |
| + | *[[Lissajousfiguren]] |
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− | ==Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen==
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− | ===ax + by + c = 0===
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− | <math>
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− | \begin{align}
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− | ax+by=c \\
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− | a, b, c \in \mathbb{R} \\
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− | x, y \in \mathbb{R},
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− | \end{align}
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− | </math><br />
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− | <iframe scrolling="no" title="Lineare Gleichung mit zwei Variablen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ScDQeGnF/width/852/height/568/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="852px" height="568px" style="border:0px;"> </iframe>
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− | <br />
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− | ===Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by=c===
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− | Es seien <math>a, b, c \in \mathbb{R}</math> , beliebig aber fest, <math>a, b</math> nicht gleichzeitig <math>0</math>,<br />
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− | <math>x,y \in \mathbb{R}</math>, variabel.<br /> Wir untersuchen die Gleichung<br />
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− | (I) <math>ax+by=c</math>
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− |
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− | '''Satz 1:'''<br />
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− | :Die Gleichung (II) <math>ax+by=c</math> beschreibt die Menge aller Punkte einer Geraden in der reellen Zahlenebene.<br />
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− | '''Beweis:'''<br />
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− | Aus der Schule ist die folgende Gleichung für Geraden bekannt: <math>y=mx+b</math>, <math>m,b \in \mathbb{R}</math>, beliebig aber fest, <math>x,y \in \mathbb{R}</math> variabel.
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− | Wir führen zwei Beweise:
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− | # Wir zeigen, dass jede Gleichung vom Typ (I) durch äquivalente Umformungen in eine Gleichung vom Typ (II) überführt werden kann.
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− | # Wir zeigen, dass umgekehrt (fast) jede Gleichung vom Typ (II) durch äquivalente Umformungen in den Typ (I) überführt werden können.
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− | Ausführung des Beweises: Übungsaufgaben 1.1 und 1.2 in [[Serie 1: Geraden in der Ebene, zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten SoSe 2018]]
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− | ===Algebraische Beschreibung der Lösungsmenge einer Gleichung der Form <math>ax+by=c</math>===
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− | ====Voraussetzung====
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− | Wir schließen aus, dass <math>a</math> und <math>b</math> gleichzeitig <math>0</math> sind: <math>a^2 +b^2 \not = 0</math>
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− | ====Fall 1: <math>b \not =0</math>====
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− | <math>
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− | \begin{align}
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− | ax+by &= c \\
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− | by &= -ax+c \\
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− | y &= \frac{-ax+c}{b} \\
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− | y &= -\frac{a}{b}x+\frac{b}{c}
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− | \end{align}
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− | </math>
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− | <br />
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− |
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− | <math>L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= t \\ y&= -\frac{a}{b}t+\frac{b}{c} \end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}</math><br />
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− | Falls <math>a=0</math> vereinfacht sich die Lösungsmenge <math>L</math> zu: <br />
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− | <math>L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= t \\ y&= \frac{b}{c} \end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}</math><br />
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− |
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− | ====Fall 2: <math>b=0</math>====
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− | <math>
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− | \begin{align}
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− | a x &=c \\
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− | x&=\frac{c}{a}
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− | \end{align}
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− | </math><br />
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− | <math>L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= \frac{c}{a} \\ y&= t\end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}</math><br />
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− | ==Zusammenfassung==
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− | # <math>a \not = 0 \land b \not = 0</math> :Gerade, die weder zur <math>x-</math> noch zur <math>y-</math>Achse parallel ist.
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− | # <math>a = 0 \land b \not = 0</math> : Gerade, die parallel zur <math>x-</math>Achse ist.
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− | # <math>a \not = 0 \land b = 0</math> : Gerade, die parallel zur <math>y-</math>Achse ist.
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− | ==Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten==
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− | ===Das Gleichsetzungsverfahren===
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− | <math>
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− | \begin{align}
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− | 4x - 5y &=13 \\
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− | 3x +4y &=3
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− | \end{align}
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− | </math><br />
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− | <br />Wir stellen beide Gleichungen nach <math>y</math> um:<br />
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− | <math>
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− | \begin{align}
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− | y &=& \frac{4}{5}x &- &\frac{13}{5} \\
| |
− | y &=& -\frac{3}{4}x &+ &\frac{3}{4}
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− | \end{align}
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− | </math>
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− | <br />
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− | Gleichsetzen der rechten Seiten: <br />
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− |
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− | <math>
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− | \frac{4}{5}x - \frac{13}{5} = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}
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− | </math><br />
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− | Vereinfachen:<br />
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− | <math>x=\frac{67}{31}</math><br />
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− | <math>\begin{align}
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− | y &=& \frac{4}{5}x &- &\frac{13}{5} \\
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− | y &=& \frac{4}{5}\frac{67}{31} &- &\frac{13}{5} \\
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− | y &=& -\frac{27}{31}
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− | \end{align}</math>
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− |
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− | <iframe scrolling="no" title="zweiGleichungenzweiUnbekannte" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/PHeftBZn/width/839/height/522/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="839px" height="522px" style="border:0px;"> </iframe>
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− | ===Das Additionsverfahren===
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− | ====Äquivalenzumformungen für Lineare Gleichungssysteme====
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− | * Vertauschen zweier Gleichungen
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− | * Multiplikation einer Gleichung mit einer reellen Zahl <math>r, r \not = 0</math>
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− | * Addition zweier Gleichungen
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− | ====Beispiel 1====
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− | <math>\begin{align}
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− | \text{(I)} && 5x + 7y &= 4 && \\
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− | \text{(II)} && 3x + 11y &= 1 && \\
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− | \hline
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− | \text{(I)} && 5x + 7y &= 4 && \vert \cdot 3\\
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− | \text{(II)} && 3x + 11y &= 1 && \vert \cdot (-5)\\
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− | \hline
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− | \text{(I')} && 15x + 21y &= 12 && \\
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− | \text{(II')} && -15x - 55y &= -5 && \\
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− | \hline
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− | \text{(I')} && 15x + 21y &= 12 && \\
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− | \text{(I' + II')} && - 34y &= 7 && \\
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− | \hline
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− | \text{(I)} && 5x + 7y &= 4 && \vert :(-7) \\
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− | \text{(II'')} && y &= -\frac{7}{34} && \\
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− | \hline
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− | \text{(I'')} && -\frac{5}{7}x - y &= -\frac{4}{7} && \\
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− | \text{(II'')} && y &= -\frac{7}{34} && \\
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− | \hline
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− | \text{(I''+ II'')} && -\frac{5}{7}x ~ ~ ~&= -\frac{4}{7}-\frac{7}{34} && \\
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− | \text{(II'')} && y &= -\frac{7}{34} && \\
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− | \hline
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− | \text{(I''')} && x ~ ~ ~&= \frac{37}{68} && \\
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− | \text{(II'')} && y &= -\frac{7}{34} && \\
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− | \hline
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− | \end{align}</math>
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