Das Wiki für die Lehrveranstaltung Lineare Algebra/analytische Geometrie SoSe 2020

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Inhaltsverzeichnis

Das Wiki für die Lehrveranstaltung "Lineare Algebra/analytische Geometrie", Sommersemester 2020

Literatur und mehr

Aus früheren Semestern

Sommersemester 2020

Die Lehrveranstaltung Lineare Algebra/analytische Geometrie im Coronasemester

Ungewöhnliche Umstände erfordern ungewöhnliche Maßnahmen. Aus diesem Grunde versuche ich mich als Lehrender an einer Methode, die ich bislang vehement ablehnte: Der Flipped Classroom. Flipped Classroom bedeutet eigentlich, dass Sie vorab im Selbststudium sich den Lehrstoff aneignen, um ihn dann in einer Präsenzveranstaltung zu vertiefen. Aus Gründen unserer aller gesundheitlichen Unversehrtheit wird die Präsenzveranstaltung allerdings nicht als solche, sondern virtuell mit Hilfe eines Videokonferenzsystems stattfinden. Die PH hat entsprechende Lizenzen der Software Zoom gekauft. Die virtuellen Konferenzen finden jeweils zu den ursprünglich geplanten Terminen der entsprechenden Vorlesung statt. Im Fall der Linearen Algebra also jeden Freitag von 12 bis 14 Uhr. Zur Teilnahme an den Videokonferenzen erhalten Sie per Mail einen Link. Diesbezüglich müssen Sie sich zur Lehrveranstaltung in StudIp angemeldet haben. Zur Vorbereitung auf die virtuellen Konferenzen erhalten Sie hier im Wiki jeweils entsprechende Materialien und Übungsaufgaben. Damit wir ähnliche Bedingungen wie bei einer Übung in der PH haben, werden wir zusätzlich zu Zoom die Software Whiteboard von Microsoft nutzen. Whiteboard erlaubt es, jedem Teilnehmer Notizen, Skizzen und Bemerkungen in ein gemeinsames Dokument zu schreiben. Die Bedienung von Whiteboard erfolgt sinnvollerweise mit einem Stift oder dem Finger, d.h. ein Touchscreen ist für Whiteboard sinnvoll. Ferner werden wir das dynamische Geometriesystem Geogebra nutzen.
Das Ganze in Kürze noch mal zusammen gefasst:

  • Die Präsenzveranstaltungen werden durch Videokonferenzen ersetzt, die zu jeweils zu den offiziellen Vorlesungszeiten stattfinden.
  • Zur Vorbereitung auf die jeweilige Videokonferenz werden hier im Wiki wöchentlich entsprechende Lerninhalte und Übungsaufgaben eingestellt, die Sie bitte zu den jeweiligen Konferenzterminen durcharbeiten bzw. lösen.

Links zu den einzelnen Lehrveranstaltungen

Meeting vom 24. April 2020

Meeting vom 08. Mai 2020

Meeting vom 15. Mai 2020

Meeting vom 22. Mai 2020

Ziele und Klassifizierung des Lehrstoffs der Lehrveranstaltung LinAlg/anaGeo

Ziel der Lehrveranstaltung ist es, die Teilnehmerinnen und Teilnehmer aus fachlicher Sicht zu befähigen, folgende Inhalte des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe I fundiert zu unterrichten:

  • Proportionalität,
  • Parallelogramme und Parallelität
  • Geradengleichungen,
  • lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten bzw. drei Gleichungen und drei Unbekannten,
  • Sinus und Kosinus am Einheitskreis.

Hierzu wird das schulische mathematische Wissen und Können der Teilnehmerinnen und Teilnehmer (inklusive der Abiturkurses) reaktiviert, umstrukturiert und in größere Zusammenhänge und Konzepte integriert. Eine Ausrichtung der Inhalte an denen einer üblichen Lehrveranstaltung zur linearen Algebra etwa an Universitäten wird nicht angestrebt. Konkret heißt das, dass die lineare Algebra hier nicht im Rahmen einer Theorie mehr oder weniger abstrakter reeller Vektorräume unterrichtet wird. Vektoren werden lediglich mehr oder weniger anschaulich als Pfeilklassen und zugehörige geordnete Paare bzw. Tripel reeller Zahlen verwendet. Der Lehrstoff wird in der folgenden Abfolge mit folgenden Inhalten gefüllt werden:

Wiederholung und Vertiefung grundlegenden Schulwissens

Kreise und Sinus und Kosinus am Einheitskreis

  • Definition
  • Berechnung des Umfangs von Kreisen
  • Bogenmaß von Winkeln
  • Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Parallelogramme

  • Definition
  • Seiteneigenschaften
  • Diagonaleneigenschaften

Strahlensätze und Ähnlichkeit

  • Erster Strahlensatz und Umkehrung
  • Zweiter Strahlensatz und Umkehrung
  • Beweise
  • Ähnlichkeit von Dreiecken

Pfeilklassen

  • Begriff der gerichteten Strecke bzw. des Pfeils
  • Die Relation pfeilgleich als Äquivalenzrelation
  • Pfeilklassen
  • Addition von Pfeilklassen, Vervielfachen von Pfeilklassen mit reellen Zahlen
  • Isomorphie von Pfeilklassen und geordneten Paaren bzw. Tripeln reeller Zahlen

Das Skalarprodukt

  • geometrische Interpretation des Skalarproduktes: \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot \cos(\angle \vec{a}, \vec{b})
  • algebraische Interpretation des Skalarproduktes \vec{a} \cdot \vec{b} = x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b

Proportionalität und Geradengleichungen in der Schule

  • Proportionale Funktionen, Eigenschaften und grafische Darstellung
  • y=mx
  • lineare Funktionen
  • y=mx+n
  • Anstieg, Anstiegsdreieck, Anstiegswinkel, Beziehungen zu den Winkelfunktionen
  • grafische Darstellung von linearen Funktionen

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

Die Geradengleichung ax+by+c=0

  • Umformung y=mx+n zu ax+by+c=0 und umgekehrt.
  • geometrische Interpretation der Koeffizienten a und b als Komponenten eines Normalenvektors bzgl. der durch die Gleichung beschriebenen Geraden.
  • Betrachtung der allgemeinen Geradengleichung ax+by=c als Skalarprodukt
  • Die Hessesche Normalform der allgemeinen Geradengleichung ax+by+c=0
  • Berechnung des Abstandes eines Punktes zu einer Geraden
  • Anwendung der allgemeinen Geradengleichung ax+by+c=0 in der Computergrafik, der Algorithmus von Bresenham

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten als Schnittpunktberechnung zweier Geraden

  • Die üblichen Verfahren in der Schule
  • äquivalente Umformungen für Gleichungen
  • Gaußscher Algorithmus für 2x2 Systeme

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten in Matrixform

  • \begin{pmatrix} a & b \\ d & e \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ f \end{pmatrix}
  • kleine Koeffizientenmatrix, große Koeffizientenmatrix
  • lineare Abhängigkeit zweier Vektoren
  • Rang einer Matrix
  • Satz von Kronecker Capelli für lineare Gleichungssysteme der Form 2x2
  • Interpretation der kleinen Koeffizientenmatrix als Beschreibung einer Abbildung der Ebene auf sich
  • Lösen eines linearen Gleichungssystems der Ordnung 2x2 mittels der Invertierung der kleinen Koeffizientenmatrix.

Lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten

Die Ebenengleichung ax+by+cz+d=0

  • Interpretation von \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} als Normalenvektor zur Ebene ax+by+cz+d=0
  • Das Kreuzprodukt zweier Vektoren
  • Berechnung der Ebenengleichung ax+by+cz+d=0 aus den Koordinaten dreier nichtkollinearer Punkte
  • Hessesche Normalform der allgemeinen Ebenengleichung ax+by+cz+d=0
  • Abstand eines Punktes zu einer Ebene

Geraden im Raum

  • Gerade als Schnitt zweier Ebenen, lineare Gleichungssysteme vom Typ zwei Gleichungen, drei Unbekannte.
  • Die Punktrichtungsgleichung P=A+t\cdot \vec{r}
  • Interpretation der Punktrichtungsgleichung als Parameterdarstellung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten.

Lösen von lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten

  • Interpretation als Schnitt dreier Ebenen, geometrische Lösbarkeitsuntersuchungen
  • Das System in Matrixformulierung \begin{pmatrix} a & b & c \\ e & f & g \\ i & j & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d \\ h \\ l \end{pmatrix} kleine Koeffizientenmatrix, große Koeffizientenmatrix
  • Der Gaußsche Algorithmus für 3x3 Systeme
  • lineare Abhängigkeit dreier Vektoren
  • Der Satz von Kronecker Capelli