Übung 6
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Aufgaben zur Inzidenz
Aufgabe 6.1
Es sei eine Gerade und ein Punkt, der nicht zu g gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene , die sowohl alle Punkte von als auch den Punkt enthält.
Aufgabe 6.2
Das Axiom I.7 sagt aus:
Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
Es sei eine beliebige Ebene und die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte mit auftreten können.
Aufgabe 6.3
Satz:
- Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.
- Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen komplanar und kollinear zu verwenden.
- Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne wenn-dann zu gebrauchen.
- Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:
Beweis
- Es seien und drei Punkte, die nicht komplanar sind.
zu zeigen
- ...
Annahme:
- Es gibt drei der Punkte vier Punkte , die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...
Aufgabe 6.4
Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.
Aufgaben zum Abstand
Aufgabe 6.5
Eine informelle Definition:
Definition: Halbgerade
- Gegeben seien zwei verschiedene Punkte und . Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden versteht man die Strecke vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man über hinaus verlängert.
Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade .
Aufgabe 6.6
Gegeben seien zwei nicht identische Punkte und . Unter wollen wir die Menge aller Punkte verstehen, die man erhält, wenn man über hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte an.
Aufgabe 6.7
Definieren Sie, was man unter einem Kreis mit dem Mittelpunkt versteht. (Bezüglich der Definition wollen wir davon ausgehen, dass wir Geometrie im Raum betreiben.)
Aufgabe 6.8
Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht.
Aufgabe 6.9
Satz:
- Von drei Punkten und ein und derselben Geraden liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz.