Übung 6

Aufgaben zur Inzidenz

Aufgabe 6.1

Es sei $\ g$ eine Gerade und $\ P$ ein Punkt, der nicht zu $\ g$ gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene $\ \Epsilon$, die sowohl alle Punkte von $\ g$ als auch den Punkt $\ P$ enthält.

Lösung von Aufgabe 6.1

Aufgabe 6.2

Das Axiom I.7 sagt aus:

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Es sei $\ \Epsilon$ eine beliebige Ebene und $\ A, B, C, D$ die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte $\ A, B, C, D$ mit $\ \Epsilon$ auftreten können.

Lösung von Aufgabe 6.2

Aufgabe 6.3

Satz:

Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.

1. Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen komplanar und kollinear zu verwenden.
2. Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne wenn-dann zu gebrauchen.
3. Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:

Beweis

Es seien $\ A, B, C$ und $\ D$ drei Punkte, die nicht komplanar sind.

zu zeigen

...

Annahme:

Es gibt drei der Punkte vier Punkte $\ A, B, C, D$, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...

Lösung von Aufgabe 6.3

Aufgabe 6.4 (*)

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Lösung von Aufgabe 6.4

Aufgaben zum Abstand

Aufgabe 6.5

Eine informelle Definition:

Definition: Halbgerade $AB^+$

Gegeben seien zwei verschiedene Punkte $\ A$ und $\ B$. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden $\ AB^+$ versteht man die Strecke $\overline{AB}$ vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man $\overline{AB}$ über $\ B$ hinaus verlängert.

Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade $\ AB^+$.

Lösung von Aufgabe 6.5

Aufgabe 6.6

Gegeben seien zwei nicht identische Punkte $\ A$ und $\ B$. Unter $\ AB^-$ wollen wir die Menge aller Punkte $\ P$ verstehen, die man erhält, wenn man $\overline{AB}$ über $\ A$ hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte $\ P$ an.

Lösung von Aufgabe 6.6

Aufgabe 6.7

Definieren Sie, was man unter einem Kreis $\ k$ mit dem Mittelpunkt $\ M$ versteht. (Bezüglich der Definition wollen wir davon ausgehen, dass wir Geometrie im Raum betreiben.)

Lösung von Aufgabe 6.7

Aufgabe 6.8

Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht.

Lösung von Aufgabe 6.8

Aufgabe 6.9

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Lösung von Aufgabe 6.9 (Lösungsschema vorbereitet)

Aufgabe 6.10

Der folgende Satz bezieht sich auf die ebene Geometrie.
Satz:

Es seien $\ k_1$ und $\ k_2$ zwei Kreise mit den Mittelpunkten $\ M_1$ bzw. $\ M_2$ und den Radien $\ r_1$ bzw. $\ r_2$. Keiner der Mittelpunkte möge dabei im Inneren des jeweils anderen Kreises liegen.
Die Kreise $\ k_1$ und $\ k_2$ haben dann und nur dann einen und nur einen Punkt $\ S$ gemeinsam, wenn $\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|$ gilt.

1. Formulieren Sie den Satz ohne die Verwendung der Phrasen dann und nur dann sowie einen und nur einen.
2. Sie haben sicherlich erkannt, dass es sich bei dem Satz um eine Äquivalenz handelt. Formulieren Sie die beiden Implikationen, die diese Äquivalenz beinhaltet.
3. Bweisen Sie die beiden Implikationen.

Lösung von Aufgabe 6.10