Übung Aufgaben 5 P (SoSe 12)
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Aufgabe 5.1
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: .
b) Welche Eigenschaft der Relation auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
Lösung von Aufgabe 5.1P (SoSe_12)
Aufgabe 5.2
Eine informelle Definition:
Definition: Halbgerade
- Gegeben seien zwei verschiedene Punkte
und
. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden
versteht man die Strecke
vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man
über
hinaus verlängert.
- Gegeben seien zwei verschiedene Punkte
Formulieren Sie eine formal korrekte Definition des Begriffs Halbgerade .
Lösung von Aufg. 5.2P (SoSe_12)
Aufgabe 5.3
Definition: Halbgerade
- Gegeben seien zwei nicht identische Punkte
und
. Unter
wollen wir die Menge aller Punkte
verstehen, die man erhält, wenn man
über
hinaus verlängert.
- Gegeben seien zwei nicht identische Punkte
Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Menge dieser Punkte an.
Lösung von Aufg. 5.3P (SoSe_12)
Aufgabe 5.4
Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge".
Lösung von Aufg. 5.4P (SoSe_12)
Aufgabe 5.5
Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Lösung von Aufg. 5.5P (SoSe_12)
Aufgabe 5.6
Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 5.5.
Lösung von Aufg. 5.6P (SoSe_12)
Aufgabe 5.7
Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 5.5 nicht wahr ist.