Übung 6: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 24. Mai 2010, 13:21 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgaben zur Inzidenz
Aufgabe 6.1
Es sei 
eine Gerade und 
ein Punkt, der nicht zu g gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene 
, die sowohl alle Punkte von als auch den Punkt enthält.
Aufgabe 6.2
Das Axiom I.7 sagt aus:
Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
Es sei eine beliebige Ebene und 
die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte mit auftreten können.
Aufgabe 6.3
Satz:
- Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.
- Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen komplanar und kollinear zu verwenden.
- Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne wenn-dann zu gebrauchen.
- Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:
Beweis
- Es seien
und 
drei Punkte, die nicht komplanar sind.
- Es seien
zu zeigen
- ...
Annahme:
- Es gibt drei der Punkte vier Punkte , die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...
- Es gibt drei der Punkte vier Punkte
Aufgabe 6.4 (*)
Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.
Aufgaben zum Abstand
Aufgabe 6.5
Eine informelle Definition:
Definition: Halbgerade 
- Gegeben seien zwei verschiedene Punkte
und 
. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden 
versteht man die Strecke 
vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man über hinaus verlängert.
- Gegeben seien zwei verschiedene Punkte
Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade .
Aufgabe 6.6
Gegeben seien zwei nicht identische Punkte und . Unter 
wollen wir die Menge aller Punkte verstehen, die man erhält, wenn man über hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte an.
Aufgabe 6.7
Definieren Sie, was man unter einem Kreis 
mit dem Mittelpunkt 
versteht. (Bezüglich der Definition wollen wir davon ausgehen, dass wir Geometrie im Raum betreiben.)
Aufgabe 6.8
Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht.
Aufgabe 6.9
Satz:
- Von drei Punkten
und 
ein und derselben Geraden liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
- Von drei Punkten
Beweisen Sie diesen Satz.
Lösung von Aufgabe 6.9 (Lösungsschema vorbereitet)
Aufgabe 6.10
Der folgende Staz bezieht sich auf die ebene Geometrie.
Satz:
- Es seien
und 
zwei Kreise mit den Mittelpunkten 
bzw. 
und den Radien 
bzw. 
.
- Es seien
Zwei Kreise k_1 haben dann und nur dann einen und nur einen Punkt gemeinsam, wenn
