Übung 6: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu g gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält. | + | Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält. |
[[Lösung von Aufgabe 6.1]] | [[Lösung von Aufgabe 6.1]] | ||
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== Aufgabe 6.2== | == Aufgabe 6.2== | ||
Das Axiom I.7 sagt aus: | Das Axiom I.7 sagt aus: | ||
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==Aufgabe 6.3== | ==Aufgabe 6.3== | ||
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:Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear. | :Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear. | ||
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# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne ''wenn-dann'' zu gebrauchen. | # Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne ''wenn-dann'' zu gebrauchen. | ||
# Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis: | # Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis: | ||
− | + | <u>'''Beweis'''</u> | |
::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> drei Punkte, die nicht komplanar sind. | ::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> drei Punkte, die nicht komplanar sind. | ||
− | + | <u>'''zu zeigen'''</u> | |
:: ... | :: ... | ||
− | + | <u>'''Annahme:'''</u> | |
::Es gibt drei der Punkte vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ... | ::Es gibt drei der Punkte vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ... | ||
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[[Lösung von Aufgabe 6.3]] | [[Lösung von Aufgabe 6.3]] | ||
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+ | Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. | ||
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+ | =Aufgaben zum Abstand= | ||
+ | ==Aufgabe 6.5== | ||
+ | Eine informelle Definition: | ||
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+ | <u>'''Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>'''</u> | ||
+ | ::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert. | ||
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+ | Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>. | ||
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+ | [[Lösung von Aufgabe 6.5]] | ||
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+ | ==Aufgabe 6.6== | ||
+ | Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an. | ||
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+ | [[Lösung von Aufgabe 6.6]] | ||
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+ | ==Aufgabe 6.7== | ||
+ | Definieren Sie, was man unter einem Kreis <math>\ k</math> mit dem Mittelpunkt <math>\ M</math> versteht. (Bezüglich der Definition wollen wir davon ausgehen, dass wir Geometrie im Raum betreiben.) | ||
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+ | [[Lösung von Aufgabe 6.7]] | ||
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+ | ==Aufgabe 6.8== | ||
+ | Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht. | ||
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+ | ==Aufgabe 6.9== | ||
+ | <u>'''Satz:'''</u> | ||
+ | ::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen. | ||
+ | Beweisen Sie diesen Satz. | ||
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+ | [[Lösung von Aufgabe 6.9]] (Lösungsschema vorbereitet) | ||
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+ | ==Aufgabe 6.10== | ||
+ | Der folgende Satz bezieht sich auf die ebene Geometrie.<br /> | ||
+ | <u>'''Satz:'''</u><br /> | ||
+ | ::Es seien <math>\ k_1</math> und <math>\ k_2</math> zwei Kreise mit den Mittelpunkten <math>\ M_1</math> bzw. <math>\ M_2</math> und den Radien <math>\ r_1</math> bzw. <math>\ r_2</math>. Keiner der Mittelpunkte möge dabei im Inneren des jeweils anderen Kreises liegen. <br />Die Kreise <math>\ k_1</math> und <math>\ k_2</math> haben dann und nur dann einen und nur einen Punkt <math>\ S</math> gemeinsam, wenn <math>\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|</math> gilt. | ||
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+ | # Formulieren Sie den Satz ohne die Verwendung der Phrasen ''dann und nur dann'' sowie ''einen und nur einen''. | ||
+ | # Sie haben sicherlich erkannt, dass es sich bei dem Satz um eine Äquivalenz handelt. Formulieren Sie die beiden Implikationen, die diese Äquivalenz beinhaltet. | ||
+ | # Bweisen Sie die beiden Implikationen. | ||
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+ | [[Lösung von Aufgabe 6.10]] |
Aktuelle Version vom 21. Juni 2010, 15:13 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgaben zur Inzidenz
Aufgabe 6.1
Es sei eine Gerade und
ein Punkt, der nicht zu
gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene
, die sowohl alle Punkte von
als auch den Punkt
enthält.
Aufgabe 6.2
Das Axiom I.7 sagt aus:
Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
Es sei eine beliebige Ebene und
die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte
mit
auftreten können.
Aufgabe 6.3
Satz:
- Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.
- Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen komplanar und kollinear zu verwenden.
- Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne wenn-dann zu gebrauchen.
- Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:
Beweis
- Es seien
und
drei Punkte, die nicht komplanar sind.
- Es seien
zu zeigen
- ...
Annahme:
- Es gibt drei der Punkte vier Punkte
, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...
- Es gibt drei der Punkte vier Punkte
Aufgabe 6.4 (*)
Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.
Aufgaben zum Abstand
Aufgabe 6.5
Eine informelle Definition:
Definition: Halbgerade
- Gegeben seien zwei verschiedene Punkte
und
. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden
versteht man die Strecke
vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man
über
hinaus verlängert.
- Gegeben seien zwei verschiedene Punkte
Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade .
Aufgabe 6.6
Gegeben seien zwei nicht identische Punkte und
. Unter
wollen wir die Menge aller Punkte
verstehen, die man erhält, wenn man
über
hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte
an.
Aufgabe 6.7
Definieren Sie, was man unter einem Kreis mit dem Mittelpunkt
versteht. (Bezüglich der Definition wollen wir davon ausgehen, dass wir Geometrie im Raum betreiben.)
Aufgabe 6.8
Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht.
Aufgabe 6.9
Satz:
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
und
ein und derselben Geraden
liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
Beweisen Sie diesen Satz.
Lösung von Aufgabe 6.9 (Lösungsschema vorbereitet)
Aufgabe 6.10
Der folgende Satz bezieht sich auf die ebene Geometrie.
Satz:
- Es seien
und
zwei Kreise mit den Mittelpunkten
bzw.
und den Radien
bzw.
. Keiner der Mittelpunkte möge dabei im Inneren des jeweils anderen Kreises liegen.
Die Kreiseund
haben dann und nur dann einen und nur einen Punkt
gemeinsam, wenn
gilt.
- Es seien
- Formulieren Sie den Satz ohne die Verwendung der Phrasen dann und nur dann sowie einen und nur einen.
- Sie haben sicherlich erkannt, dass es sich bei dem Satz um eine Äquivalenz handelt. Formulieren Sie die beiden Implikationen, die diese Äquivalenz beinhaltet.
- Bweisen Sie die beiden Implikationen.