Serie 2 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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Formulieren Sie den Basiswinkelsatz für Dreiecke in ''Wenn-Dann-Form'' und beweisen Sie ihn. Verwenden Sie für den Beweis die Existenz der Winkelhalbierenden eines Winkels und den Kongruenzsatz ''SWS''. Beziehen Sie sich in Ihrem Beweis sinnvollerweise auf eine Skizze.
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Formulieren Sie den Basiswinkelsatz für Dreiecke in ''Wenn-Dann-Form'' und beweisen Sie ihn. Verwenden Sie für den Beweis die Existenz der Winkelhalbierenden eines Winkels und den Kongruenzsatz ''SWS''. Beziehen Sie sich in Ihrem Beweis sinnvollerweise auf eine Skizze.<br />
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Eva formuliert die Umkehrung des Basiswinkelsatzes für Dreiecke wie folgt:<br />
 
Eva formuliert die Umkehrung des Basiswinkelsatzes für Dreiecke wie folgt:<br />
 
:Wenn in einem Dreieck die Basiswinkel kongruent zueinander sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig.<br />
 
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Warum ist Evas Formulierung nicht ganz korrekt?
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Formulieren Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke in ''Wenn-Dann-Form''.
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b) Formulieren Sie die Umkehrung des Satzes von Pythagoras.
 
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c) Formulieren Sie die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.
 
c) Formulieren Sie die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.
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d) Auch die Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist eine wahre Aussage. Formulieren Sie den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung als Äquivalenz (genau dann, wenn bzw. dann und nur dann bzw. Doppelpfeil.)
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d) Auch die Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist eine wahre Aussage. Formulieren Sie den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung als Äquivalenz (genau dann, wenn bzw. dann und nur dann bzw. Doppelpfeil.)<br />
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Beweisen Sie den Höhensatz unter Verwendung des Satzes von Pythagoras.
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Wir setzen ebene Geometrie voraus.<br />
 
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'''Satz: Tangentenkriterium'''<br />
 
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: Es seien <math>g</math> eine Gerade und <math>k</math> ein Kreis , mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. Ferner sei <math>B</math> ein Punkt, den die Gerade <math>g</math> mit dem Kreis <math>k</math> gemeinsam hat. <br />
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: Es seien <math>g</math> eine Gerade und <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. Ferner sei <math>B</math> ein Punkt, den die Gerade <math>g</math> mit dem Kreis <math>k</math> gemeinsam hat. <br />
 
: (*) <math>k \cap g = \{B\} \Leftrightarrow g \perp \overline{MB} </math>
 
: (*) <math>k \cap g = \{B\} \Leftrightarrow g \perp \overline{MB} </math>
  
 
a) Aussage (*) beinhaltet zwei Aussagen <math>(\Rightarrow</math> und <math>\Leftarrow )</math>. Formulieren Sie beide Aussagen so, dass sie auch Schüler einer neunten Klasse Werkrealschule verstehen können.<br />
 
a) Aussage (*) beinhaltet zwei Aussagen <math>(\Rightarrow</math> und <math>\Leftarrow )</math>. Formulieren Sie beide Aussagen so, dass sie auch Schüler einer neunten Klasse Werkrealschule verstehen können.<br />
 
b) Beweisen Sie die Aussage <math>\Leftarrow </math> mittels eines Widerspruchsbeweises.<br />
 
b) Beweisen Sie die Aussage <math>\Leftarrow </math> mittels eines Widerspruchsbeweises.<br />
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[[Lösung von Aufgabe 2.9 SoSe 2018]]
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=Aufgabe 2.10 SoSe 2018=
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Es seien <math>g</math> eine Gerade und <math>P</math> ein Punkt außerhalb von <math>g</math>. Ferner sei <math>l</math> eine Gerade die senkrecht auf <math>g</math> steht und durch <math>P</math> geht. Beweisen Sie: Es gibt keine weitere von <math>l</math> verschiedene Gerade, dir ebenfalls senkrecht auf <math>g</math> steht und durch <math>P</math> geht. <br />
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Hinweis: Es handelt sich um einen "Highlanderbeweis" (Es kann nur einen geben: [https://de.wikipedia.org/wiki/Highlander_%E2%80%93_Es_kann_nur_einen_geben Highlander - Es kann nur einen geben]). In der Regel führt man derartige Eindeutigkeitsbeweise als Widerspruchsbeweise.<br />
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[[Lösung von Aufgabe 2.10 SoSe 2018]]
 
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
 
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
  

Aktuelle Version vom 22. Mai 2018, 11:18 Uhr

Übungsaufgaben zum 04.05.2018

Implikation, Voraussetzung, Behauptung, Umkehrung, Kontraposition, Widerspruchsbeweis
Hinweis: Für die geometrischen Beweise sind die Dreieckskongruenzsätze mitunter hilfreich. Sie finden sie hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzsatz

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 2.1 SoSe 2018

Ein Blick über den Tellerrand der Geometrie:

Satz S:

\forall t, a, b \in \mathbb{Z}: t \mid a \land t \mid b \Rightarrow t \mid (a+b)

a) Formulieren Sie Satz S schultauglich, d.h. weniger formal in einem normalen deutschen Satz.
b) Wie lautet die Voraussetzung in Satz S?
c) Wie lautet die Behauptung von Satz S.
d) Beweisen Sie Satz S.

Lösung von Aufgabe 2.1 SoSe 2018

Aufgabe 2.2 SoSe 2018

a) Bilden Sie sie Umkehrung von Satz S aus Aufgabe 2.1.
b) Begründen Sie: Die Umkehrung von Satz S ist keine wahre Aussage.
c) Formulieren Sie die Kontraposition von Satz S.
Lösung von Aufgabe 2.2 SoSe 2018

Aufgabe 2.3 SoSe 2018

Formulieren Sie den Basiswinkelsatz für Dreiecke in Wenn-Dann-Form und beweisen Sie ihn. Verwenden Sie für den Beweis die Existenz der Winkelhalbierenden eines Winkels und den Kongruenzsatz SWS. Beziehen Sie sich in Ihrem Beweis sinnvollerweise auf eine Skizze.
Lösung Aufgabe 2.3 SoSe 2018

Aufgabe 2.4 SoSe 2018

Eva formuliert die Umkehrung des Basiswinkelsatzes für Dreiecke wie folgt:

Wenn in einem Dreieck die Basiswinkel kongruent zueinander sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig.

Warum ist Evas Formulierung nicht ganz korrekt?
Lösung von Aufgabe 2.4 SoSe 2018

Aufgabe 2.5 SoSe 2018

Formulieren Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke in Wenn-Dann-Form.
Lösung von Aufgabe 2.5 SoSe 2018

Aufgabe 2.6 SoSe 2018

Wir setzen den Innenwinkelsatz für Dreiecke und den Nebenwinkelsatz als bewiesen voraus.
Satz: (starker Außenwinkelsatz)

Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.

a) Formulieren Sie den starken Außenwinkelatz in Wenn-Dann-Form.
b) Formulieren Sie die Voraussetzung und die Behauptung des starken Außenwinkelsatzes unter Verwendung der Bezeichnungen in der folgenden Skizze:

Skizze für den Beweis des starken Außenwinkelsatzes
c) Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.
Lösung von Aufgabe 2.6 SoSe 2018

Aufgabe 2.7 SoSe 2018

a) Formulieren Sie den Satz von Pythagoras allgemein. (a^2+b^2=c^2 zählt also nicht als Lösung der Aufgabe.
b) Formulieren Sie die Umkehrung des Satzes von Pythagoras. c) Formulieren Sie die Kontraposition des Satzes von Pythagoras. d) Auch die Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist eine wahre Aussage. Formulieren Sie den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung als Äquivalenz (genau dann, wenn bzw. dann und nur dann bzw. Doppelpfeil.)
Lösung von Aufgabe 2.7 SoSe 2018

Aufgabe 2.8 SoSe 2018

Der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke lautet:
Satz: (Höhensatz)

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe h_c auf die Hypotenuse so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seitenlängen den Hypotenusenabschnitten q und p entsprechen.

Kurz: h_c^2=q \cdot p

Beweisen Sie den Höhensatz unter Verwendung des Satzes von Pythagoras.
Lösung von Aufgabe 2.8 SoSe 2018

Aufgabe 2.9 SoSe 2018

Wir setzen ebene Geometrie voraus.
Satz: Tangentenkriterium

Es seien g eine Gerade und k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M. Ferner sei B ein Punkt, den die Gerade g mit dem Kreis k gemeinsam hat.
(*) k \cap g = \{B\} \Leftrightarrow g \perp \overline{MB}

a) Aussage (*) beinhaltet zwei Aussagen (\Rightarrow und \Leftarrow ). Formulieren Sie beide Aussagen so, dass sie auch Schüler einer neunten Klasse Werkrealschule verstehen können.
b) Beweisen Sie die Aussage \Leftarrow mittels eines Widerspruchsbeweises.
Lösung von Aufgabe 2.9 SoSe 2018

Aufgabe 2.10 SoSe 2018

Es seien g eine Gerade und P ein Punkt außerhalb von g. Ferner sei l eine Gerade die senkrecht auf g steht und durch P geht. Beweisen Sie: Es gibt keine weitere von l verschiedene Gerade, dir ebenfalls senkrecht auf g steht und durch P geht.
Hinweis: Es handelt sich um einen "Highlanderbeweis" (Es kann nur einen geben: Highlander - Es kann nur einen geben). In der Regel führt man derartige Eindeutigkeitsbeweise als Widerspruchsbeweise.
Lösung von Aufgabe 2.10 SoSe 2018

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